Paradosso di Monty Hall

Nelle celle B9, D9 ed F9 andiamo a scrivere in chiaro che cosa c'è dietro ognuna delle tre porte. Per far ciò ci aiuteremo con la funzione Se() così come indicato nelle figure successive.

Come si può osservare, l'esito della prima estrazione è 2: ciò vuol dire che l'auto si trova dietro la porta 2. Ma allora, sia dietro la porta 1 che dietro la porta 3 ci sarà una capra.

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A questo punto dobbiamo simulare l'atto di fare la prima scelta da parte del giocatore. Per far ciò usiamo la formula indicata nell'immagine successiva che andremo a scrivere nella cella H9.

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Si tratta della funzione Casuale.Tra(), che estrae un numero casuale intero compreso tra due estremi. Nel nostro caso i due estremi sono 1 e 3.

Questa funzione non era disponibile nelle prime versioni di excel. E poteva, certamente, essere impiegata nella cella A9 in luogo di quella più articolata che ho usato io. Ma allora perchè quella scelta? Due le ragioni:
a. l'algoritmo che excel usa per costruire la funzione Casuale.Tra() è proprio lo stesso di quello che vi ho illustrato per la funzione usata in cella A9;
b. e poi, avendo qualche capello bianco, sono inevitabilmente legato a vecchi modi e stili di programmazione.
Ma non deviamo troppo dal discorso principale ed andiamo avanti.

Nella cella J9 chiediamo ad excel di indicare cosa nasconde la porta scelta dal giocatore (nella prima scelta).
Per far ciò usiamo la nidificazione di tre funzioni excel:

i) Stringa.Estrai()
ii) Valore()
iii) Scegli()

Lo vediamo nell'immagine successiva.

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Vediamo come funziona il tutto. La funzione che excel esegue inizialmente, quella più interna, estrae una stringa (ovvero un insieme di caratteri) dalla stringa a sua volta presente in H9. In particolare, estrae 1 carattere a partire dalla posizione 6: che nel caso della cella H9 è 2. Poi, siccome per excel si tratta di un carattere, la funzione Valore() lo trasforma in numero. Infine, la funzione Scegli(), sulla base di tale valore sceglie fra tre possibili celle: B9, D9 ed F9. In questo caso, essendo 2, sceglie D9, il cui contenuto è "Capra".

Quindi, in definitiva, le celle H9 e J9 contengono la scelta effettuata dal giocatore (quale porta) e cosa si cela dietro la porta scelta.

Ed ora devo spiegarvi un piccolo "giochino" matematico che ho dovuto architettare per simulare la mossa del presentatore. Ricordo che il presentatore deve sempre aprire la porta che cela una capra. E i casi sono 3, di cui due equivalenti. Supponiamo, infatti, che l'auto si trovi dietro la porta 2.

1. se il giocatore ha indicato la porta 2, dietro la quale si trova l'auto, allora il presentatore sceglierà indifferentemente una delle altre due porte: la porta 1 o la porta 3;

2. se il giocatore ha indicato la porta dietro la quale si trova una delle due capre, la porta 1, allora il presentatore sceglierà necessariamente l'unica altra porta che cela la capra rimanente, la porta 3;

3. come per il caso precedente, invertendo le due porte che celano le capre, ovvero: se il giocatore ha indicato la porta dietro la quale si trova una delle due capre, la porta 3, allora il presentatore sceglierà necessariamente l'unica altra porta che cela la capra rimanente, la porta 1.

A questo punto, come qualcuno avrà già notato, nelle celle C9, E9 e G9 viene posto il numero 1, se dietro quella porta si cela l'auto, ed il numero 4, se dietro quella porta si nasconde una delle due capre.

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La figura mostra la formula contenuta nella cella C9; formule analoghe sono contenute nelle celle E9 e G9.

Nella cella I9 viene riportato il numero della porta scelta inizialmente dal giocatore per mezzo di due formule nidificate delle quali abbiamo già fatto conoscenza.

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Ci siamo quasi. Nella cella K9, con la formula indicata in figura, poniamo il numero 1, se dietro la porta indicata dal giocatore vi è l'auto, altrimenti il numero 4.

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Nella cella L9 vi è il prodotto tra le celle I9 e K9.

Ora, i possibili casi di questo prodotto, sono 6:

a. --> 1: auto (1) dietro porta 1
b. --> 2: auto (1) dietro porta 2
c. --> 3: auto (1) dietro porta 3
d. --> 4: capra (4) dietro porta 1
e. --> 8: capra (4) dietro porta 2
f. --> 12: capra (4) dietro porta 3

E a cosa ci è occorso tale giochino? Per simulare quale porta deve aprire il presentatore. Vediamolo.

Nella cella M9 c'è una formula che, a prima vista, può spaventare. Nessun timore, vediamola assieme.

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Vi sono una serie di funzioni Se() nidificate. Viene preso in esame il contenuto della cella L9 (il prodotto I9*K9).
Il primo Se() si chiede se tale prodotto è 1. Allora vuol dire che il giocatore ha indovinato, con la prima scelta. E l'auto si trova dietro la porta 1. Quindi il presentatore può aprire, indifferentemente, una delle due porte che celano le capre; la porta 2 o la porta 3.
Il secondo Se() si chiede se tale prodotto è 2. Allora vuol dire - ancora una volta - che il giocatore ha indovinato, con la prima scelta. E l'auto si trova - questa volta - dietro la porta 2. Quindi il presentatore può aprire, indifferentemente, una delle due porte che celano le capre; la porta 1 o la porta 3.
Il terzo Se() si chiede se tale prodotto è 3. Allora vuol dire - un'altra volta - che il giocatore ha indovinato, con la prima scelta. E l'auto si trova - questa volta - dietro la porta 3. Quindi il presentatore può aprire, indifferentemente, una delle due porte che celano le capre; la porta 1 o la porta 2.
Il quarto Se() si chiede se tale prodotto è 4. Allora vuol dire che il giocatore non ha indovinato, con la prima scelta. Egli ha indicato la porta 1 dietro la quale vi è una delle due capre. A questo punto il presentatore deve aprire, necessariamente, la porta dietro la quale si nasconde l'altra capra. Si tratterà della porta 2 o della porta 3. Vi è quindi un altro test per capire di quale, tra queste due porte, si tratta.

A questo punto proseguite in autonomia per verificare se riuscite ad interpretare il resto della formula.

Altro, ed ultimo, giochino matematico.

Nella cella N9, che in precedenza risultava nascosta, estraggo il numero della porta aperta dal presentatore dopo la dichiarazione di prima scelta da parte del giocatore.

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Ed in cella O9 pongo il prodotto: N9*I9. Ora, i casi possibili di questo prodotto sono i seguenti sei:

a. --> 2 porta scelta dal giocatore: 1; porta aperta dal presentatore: 2;
b. --> 2 porta scelta dal giocatore: 2; porta aperta dal presentatore: 1;
c. --> 3 porta scelta dal giocatore: 1; porta aperta dal presentatore: 3;
d. --> 3 porta scelta dal giocatore: 3; porta aperta dal presentatore: 1;
e. --> 6 porta scelta dal giocatore: 3; porta aperta dal presentatore: 2;
f. --> 6 porta scelta dal giocatore: 2; porta aperta dal presentatore: 3.

Sulla base di ognuno di questi sei casi il giocatore, se deciderà di adottare la strategia 2 (quella in cui cambia sempre la propria scelta), dovrà chiedere di aprire la terza porta. In particolare, nei casi:

a. e b., chiederà di aprire la porta 3;
c. e d., chiederà di aprire la porta 2;
e. ed f., chiederà di aprire la porta 1.

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Tutto questo con la formula riportata in P9.

Infine, e questa volta abbiamo davvero concluso, la formula in Q9 ci dice cosa si cela dietro la porta indicata dal giocatore in seconda scelta. Credo che non necessiti di alcun commento (o, almeno, lo spero!).

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Ora, se copiamo tutte le celle della riga 9 nelle 999 righe successive, otteniamo 1000 simulazioni.

Poi contiamo tutte le celle della colonna Q che contengono la stringa "auto" e dividiamo per 1000.

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Poi contiamo tutte le celle della colonna J che contengono la stringa "auto" e dividiamo per 1000.

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Otteniamo, così, le due probabilità cercate. In verità molto vicine a quelle teoriche che abbiamo calcolato, in precedenza, con il processo dimostrativo illustrato.

Ecco, questo è un esempio d'uso della simulazione Montecarlo. Naturalmente si tratta di qualcosa di molto semplice. E' comunque un'applicazione corretta e rigorosa del metodo di simulazione.

Nel volume che stiamo curando io e Antonio e che, per quanto ci è dato di sapere, dovrebbe essere la prima pubblicazione di mano italiana (a livello internazionale, vi è già qualcosa), vi sono tanti altri esempi. Incluso, naturalmente, quello che illustra il programma (sulle "passeggiate casuali" del prezzo di un'attività finanziaria) che ogni tanto Antonio propone.

Spero, comunque, di essere stato chiaro.

Dopo la scelta del giocatore, il presentatore apre una porta (egli sa dove si trova l'auto) mostrando una capra. Qualsiasi cosa ci sia dietro la scelta iniziale del giocatore, egli cambiando scelta ha il 66,7% di probabilità di vincere l'auto, non cambiandola ne avrebbe il 33,3%.

Io la cosa (per come ho capito il gioco) l'ho affrontata così:

I casi possibili sono:
ACC
CAC
CCA
Dal punto di vista del giocatore tutti equibrobabili, quindi 33,33%.
Il giocatore, scegliendo la porta 1,2 o 3, si augura che dietro ci sia un'auto, cioè di aver scelto, sui tre casi possibili, quello a lui favorevole, che è solo 1 su 3. Cioè il giocatore, scegliendo una porta, sceglie uno dei tre casi elencati.
Quando il conduttore svela una capra i casi possibili diventano:
AC
CA
Dal punto di vista del giocatore sempre equiprobabili, quindi 50%.
Il giocatore si trova davanti al dilemma se cambiare o meno la sua scelta, ma qualsiasi cosa decida, solo uno dei due casi sarà vincente per lui, quindi 1 su 2. Come prima il giocatore, cambiando o non cambiando, sceglie uno dei due casi disponibili.

Vedendo la cosa da un altro punto di vista (tutti i casi possibili del gioco):

S=conduttore, C=concorrente, D1,D2,D3=porte

1- C sceglie D1, S apre D2, C cambia e vince
2- C sceglie D1, S apre D2, C cambia e perde
3- C sceglie D1, S apre D3, C cambia e vince
4- C sceglie D1, S apre D3, C cambia e perde
5- C scegle D2, S apre D1, C cambia e vince
6- C scegle D2, S apre D1, C cambia e perde
7- C sceglie D2, S apre D3, C cambia e vince
8- C sceglie D2, S apre D3, C cambia e perde
9- C sceglie D3, S apre D1, C cambia e vince
10- C scegle D3, S apre D1, C cambia e perde
11- C scegle D3, S apre D2, C cambia e vince
12- C sceglie D3, S apre D2, C cambia e perde

Lo stesso si può ripetere per lo scenario "non cambia e perde" e "non cambia e vince" ottenendo altri 12 casi.
In totale vengono 24 casi, di cui solo il 50% favorevoli al concorrente.