Paradosso di Monty Hall

Dopo la scelta del giocatore, il presentatore apre una porta (egli sa dove si trova l'auto) mostrando una capra. Qualsiasi cosa ci sia dietro la scelta iniziale del giocatore, egli cambiando scelta ha il 66,7% di probabilità di vincere l'auto, non cambiandola ne avrebbe il 33,3%.

Bene,
abc si è fatto avanti proponendo una soluzione. Diremo più avanti circa la sua correttezza o meno.

C'è qualcun altro che vuole provare ...
... il brivido?

Intanto riepilogo il quesito proposto per coinvolgere sia quelli che ieri non erano presenti a Montepulciano sia quelli che hanno avuto la necessità di andar via prima.

Il paradosso di Monty Hall

E' un problema di teoria della probabilità che prende il nome da Maurice Halprin, conduttore del noto show televisivo americano Let's Make a Deal, anche noto con lo pseudonimo di Monty Hall.

MontyHall2.png

Let's Make a Deal era un gioco a premi televisivo che andò in onda sulla NBC dal 1963 al 1968. Nel gioco il presentatore mostrava al concorrente tre porte chiuse: dietro ad una di queste vi era un'automobile; ciascuna delle altre due, invece, nascondeva una capra.

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Il giocatore veniva quindi invitato a scegliere una delle tre porte vincendo, così, il premio corrispondente: l'auto o la capra.
Dopo aver scelto una delle tre porte, e prima che questa venisse aperta, il conduttore, che naturalmente sapeva cosa c'era dietro ognuna di queste, apriva una delle altre due porte rimaste rivelando che dietro questa vi era una delle due capre. Successivamente offriva al concorrente la possibilità di cambiare la sua scelta iniziale.

Cambiare la scelta iniziale, per il giocatore, migliorava le probabilità di vincere? Oppure, un tale cambiamento, era ininfluente?

Marilyn vos Savant, che curava la rubrica Ask Marilyn della rivista Parade (http://it.wikipedia.org/wiki/Marilyn_vos_Savant), sollecitata da un lettore a dare una risposta al quesito posto, risolse il problema in modo corretto e, all'epoca, suscitò un gran scalpore in quanto diversi accademici non compresero la soluzione da ella proposta.
In un articolo successivo vos Savant spiegò nel dettaglio la soluzione proposta.

Concordo con Abc,
cambiando porta il concorrente perderebbe solo nel caso in cui l'avesse indovinata al primo colpo, negli altri due casi vincerebbe.............
Grazie Mauro per le eccellenti spiegazioni,ragazzi fortunati i tuoi alunni..........

Innanzitutto bravi entrambi, abc ed adiguben, la soluzione da voi proposta è corretta. Ho atteso qualche giorno, prima di pronunciarmi sulla soluzione: volevo vedere se qualche altro "ardito" si fosse fatto avanti.
Evidentemente troppo impegnati nel mettere a frutto gli insegnamenti che Antonio ha profuso in questi 4 mesi .

E comunque, anche a beneficio di coloro che magari ancora non hanno ben compreso la soluzione, ecco qui una spiegazione della medesima.

La soluzione di questo problema (divenuto ormai un classico della teoria della probabilità), la cui dimostrazione rigorosa può essere condotta ricorrendo al teorema di Bayes (o della probabilità delle cause), può essere argomentata nel seguente modo.

Innanzitutto occorre osservare che il conduttore certamente conosce cosa nasconde ogni porta. Pertanto, qualunque sia la scelta effettuata dal concorrente, egli aprirà sempre la porta che nasconde una delle capre.

Ora, supponiamo che il giocatore scelga la porta sbagliata: ovvero, una di quelle dietro la quale vi è la capra. Il conduttore, non avendo scelta, aprirà la porta dietro la quale vi è l'altra capra. E così, se il giocatore cambia porta vincerà l'auto.

Se, invece, la prima scelta effettuata dal giocatore era quella giusta e, successivamente all'invito del presentatore, egli cambia la porta, allora perderà.

Appare evidente, allora, che se il giocatore segue la strategia di cambiare sempre la sua scelta iniziale, egli perderà se e solo se tale scelta è quella corretta: un evento che ha la probabilità di accadere pari ad 1/3. Negli altri due casi, invece, sarà destinato a vincere sempre.

Pertanto, la strategia di cambiare sempre la propria scelta iniziale, conduce alla vincita per due volte su tre.
Se, invece, il giocatore segue la strategia di non modificare mai la sua scelta, egli avrà una sola possibilità di vincere l'auto su tre.

Ricorderete, naturalmente, che a Montepulciano avevamo proposto questo quesito per far vedere come, in casi come questo, il metodo Montecarlo possa essere impiegato per investigarne le varie possibilità fino ad arrivare ad una vera e propria dimostrazione empirica.

E allora vediamolo assieme.

Prima di mettere mano ad excel dobbiamo fare (uno sforzo, lo so!) attività di progettazione. Chiediamoci, quali risposte deve darci il sistema di simulazione che ci accingiamo a mettere in piedi? In questo caso le risposte che ci attendiamo sono due:

a. qual'è la probabilità di vincere l'auto, da parte del giocatore, se questi adotta sempre la medesima strategia: non cambiare la scelta iniziale (strategia 1);

b. qual'è la probabilità di vincere l'auto, da parte del giocatore, se questi adotta sempre la medesima strategia: cambiare sempre la scelta iniziale (strategia 2).

Ciò significa che il nostro foglio dovrà contenere due colonne dove:

1. nella prima, per ogni riga, vi sarà l'esito della scelta del giocatore qualora questo adotti la strategia 1;
2. nella seconda, per ogni riga, vi sarà l'esito della scelta del giocatore qualora questo adotti la strategia 2.

La probabilità di vincere l'auto, sia nel caso della strategia 1 che in quello della strategia 2, la otterremo facendo il rapporto tra il numero delle celle che contengono l'esito "auto" ed il numero complessivo di celle (che rappresenta il totale delle simulazioni).

Ricordo a tutti che la probabilità, secondo l'approccio classico, è il rapporto tra numero di casi favorevoli e numero complessivo di casi.

Diamo il via, allora, alla preparazione del foglio. Innanzitutto prepariamo un riquadro di output, ove excel andrà a depositare la stima delle due probabilità cercate.

Eccolo ...

MontyHall4.png

In H4 ed in H6 le probabilità di vincere l'auto sulla base, rispettivamente, della strategia 1 e della strategia 2. In J4 ed in J6 gli eventi complementari per ciascuna delle due strategie: la probabilità di non vincere l'auto (bensì la capra).

Intestiamo ora le colonne che ci occorrono per rappresentare la dinamica del gioco.

MontyHall5.png

In colonna A vogliamo indicare il risultato dell'estrazione. Quale estrazione, si chiederà qualcuno? Ebbene, supporremo che l'auto venga a trovarsi dietro la porta il cui numero viene estratto casualmente proprio in colonna A.

Si osservi l'uso della funzione Casuale() che excel mette a disposizione. Questa funzione, ogni volta che viene richiamata, genera un numero casuale (occorrerebbe dire, pseudocasuale) compreso tra 0 ed 1 e formato da 15 cifre decimali.

Un esempio di tale estrazione potrebbe essere:

0,712832441465987

La formula riportata in cella A9 ci dice, inoltre, che tale numero viene poi moltiplicato per 3 e, a tale prodotto, viene poi aggiunto 1. Infine si richiama la funzione Int() che, dato un numero decimale, restituisce la parte intera del numero stesso.

Proviamo a fare un esempio proprio sul numero indicato in precedenza.

--> 0,712832441465987 *3 = 2,13849732439796
--> 2,13849732439796 + 1= 3,13849732439796
--> INT(3,13849732439796) = 3

Se ci riflettete un momento, vi accorgerete che da quella formula verranno fuori solamente numeri compresi tra 1 e 3. provateci un momento.