Media, deviazione standard e dintorni

La statistica, come ci ricorda Antonio, è un formidabile strumento di sintesi; ed i due indici qui esaminati ne sono un esempio. Ma non dobbiamo dimenticare la potenza di visione di insieme che offre un grafico (pensate al grafico della funzione di ripartizione di cui, giornalmente, AZ13 ci informa).

Ebbene, come possiamo utilizzare un grafico per mostrare la diversa dispersione di questi due campioni? Prendiamo il grafico più semplice ed elementare che esiste: il grafico unidimensionale. Si tratta di una retta orientata (generalmente verso destra) nella quale ogni suo punto è in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri reali. In sostanza è un grafico nel quale possiamo rappresentare dei valori.

Nel nostro caso rappresenteremo le età del campione 1:

fig28.png

e quelle del campione 2:

fig29.png

Come si può osservare i due grafici danno un'idea di come sono dispersi gli individui dei due campioni rispetto al rispettivo valore centrale, la media aritmetica, che graficamente è stata rappresentata con un pallino rosso ed una X.

Oltre alla deviazione standard esistono ulteriori indici di misura della dipersione o variabilità dei dati.
Li cito solo per completezza ma, almeno per il momento, non li utilizzeremo.

Essi sono:
a. range o campo di variazione;
b. devianza;
c. varianza;
d. coefficiente di variazione o indice di variabilità relativa;
e. differenza interquartile.

Caro Mauro,

potresti gentilmente darci una piccola spiegazione?

Certo Norby,
ora sono fuori e non mi è possibile.

Questa sera, o quanto prima, indicherò le definizioni richieste.

Questa volta considereremo un campione più aderente alla materia che giornalmente trattiamo: gli intervalli di variazione dell'indice Ftse Mib nel mese di ottobre 2011. E su tale campione ragioneremo illustrando le modalità di calcolo dei vari indici di dispersione.
Importiamo tali dati in un foglio excel, così come indicato in figura.

fig1.png

I dati sono stati copiati nelle celle dell'intervallo (A4:F24). Nell'intervallo (H4:H24), ovvero nelle celle H4, H5, ..., H24, andremo a riportare l'intervallo di variazione. Sono questi i dati costituenti il campione in esame.

Definiamo il singolo elemento del nostro campione come differenza tra High e Low. Quindi, l'i-esimo elemento del campione sarà dato da:

Xi = Highi - Lowi

Nella cella H4, pertanto, andremo ad inserire la formula:

fig2.png

Copiamo poi tale formula nelle celle sottostanti inerenti l'intervallo (H4:H24).

Illustro una modalità di copia veloce (a trascinamento) per coloro che non la conoscono.

Puntare col mouse sull'angolo inferiore destro della cella origine della copia (H4). Il mouse cambia forma e diviene una croce. A quel punto premere il tasto sx del mouse e trascinare il mouse medesimo in verticale fino a coprire l'intero intervallo verticale di celle, inclusa la cella H24. Rilasciare il tasto sx del mouse, ed il gioco è fatto!

Ecco il risultato:

fig3.png

Ed ecco, quindi, il nostro campione, di numerosità (numero degli elementi che lo costituiscono) 21.

Ed ora calcoliamo la media aritmetica

fig4.png

e la deviazione standard,

fig5.png

come già sappiamo fare.

Che cosa ci indicano questi due indici? Che nel periodo di tempo in esame l'indice nostrano ha effettuato, in media, escursioni giornaliere di circa 495 punti. E, inoltre, che lo scarto medio è stato di circa 135 punti.

Ci si poteva attendere, quindi, che in una normale giornata di contrattazione l'escursione del FTSEMib poteva variare da 360 a 630 punti.

Vedremo poi, più avanti, quale significato probabilistico assegnare ad una tale affermazione.

Ora, come è definito il range o campo di variazione? Indicando con Xmin e Xmax, rispettivamente, il più piccolo ed il più grande tra gli elementi del nostro campione, avremo:

Range = Xmax - Xmin

Calcoliamolo nell'esempio che stiamo portando avanti:

fig6.png

Vediamo quali sono i limiti ed i pregi di questo indice. Tra i pregi troviamo, sicuramente, l'estrema facilità di calcolo. Tra i limiti, invece, abbiamo:
- eccessiva influenza dai valori estremi;
- "guarda" solo ai due valori estremi e trascura tutti gli altri;
- con l'aumentare del numero degli elementi del campione tende ad aumentare anch'esso.