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Tra gli strumenti che un opzionista deve essere in grado di gestire vi è quello della costruzione di posizioni sintetiche.

Che cos'è una posizione sintetica? E' una posizione che si ottiene in modo equivalente, all'acquisto o alla vendita diretta dei titoli, utilizzando altri strumenti. Facciamo un esempio su un titolo del nostro listino: Fiat.

Se l'investitore decide di acquistare un certo quantitativo di azioni Fiat (o, come in gergo si dice, di andare lungo su Fiat) può farlo in tre modi:

a. acquista direttamente le azioni Fiat
b. acquista un future su Fiat
c. acquista un'opzione call e vende, simultaneamente, un'opzione put, aventi stesso strike e stessa scadenza.

La terza modalità è quella che si definisce posizione sintetica: essa replica perfettamente sia la prima modalità, l'acquisto diretto del sottostante, che la seconda.

Allo stesso modo si può costruire una posizione di vendita del sottostante Fiat. Se, in questo caso, l'investitore decide di vendere Fiat (o andare corto, come dicono gli anglosassoni) potrà farlo in uno dei tre seguenti modi:

a. vende direttamente le azioni Fiat
b. vende un future su Fiat
c. acquista un'opzione put e vende, simultaneamente, un'opzione call, aventi stesso strike e stessa scadenza.

Per convincere il lettore dell'equivalenza di queste tre modalità operative si ricorre, generalmente, alla relazione matematica nota come put-call parity. E' quello che faremo anche noi ma, oltre a questo modo, cercheremo di farlo vedere ricorrendo alla combinazione dei pay off di questi strumenti. In sostanza ci appelleremo alla potente forza suggestiva della geometria analitica (che, chiunque abbia fatto studi di scuola superiore, certamente non avrà problemi nel comprendere).

Prima di passare alle dissertazioni analitiche è bene, a mio avviso, far comprendere perché la posizione sintetica è generalmente più conveniente di quella diretta. Le ragioni sono due: un minor impiego di capitale e costi di transazione più vantaggiosi.

Minor impiego di capitale in quanto, per detenere in portafoglio una posizione sintetica, il margine richiesto dal broker è di gran lunga inferiore di quanto necessario per l'acquisto diretto del titolo (generalmente attorno al 10% del valore del sottostante).

I costi di transazione sono generalmente più vantaggiosi sia per questioni di spread, tra le proposte di denaro e lettera del market maker, che per questioni di spese e commissioni richieste dal broker.

Put-call parity

Questa relazione, fissato un determinato sottostante, lega tra loro i prezzi di una call, di una put (entrambe di stile europeo, cioè non esercitabili prima della scadenza) e del sottostante medesimo.

Indichiamo con:
c, il prezzo della call
p, il prezzo della put
K, il prezzo di esercizio, o strike
S0, il prezzo corrente (all'istante t=0) del sottostante
r, il tasso privo di rischio
T, la vita residua (dall'istante t=0 alla data di scadenza delle opzioni).

La relazione è la seguente:



il tasso privo di rischio (o free rate), è il tasso libor a 6 mesi. Lo si può trovare, ad esempio, qui:

http://it.global-rates.com/tassi-di-int ... libor.aspx

Ad oggi vale 1.32% circa.

Put-call parity: un esempio sulle opzioni MibO

Facciamo un esempio sull'indice di borsa italiana. Alle ore 17:40 circa della giornata di venerdì scorso, 10 febbraio 2012, l'indice valeva 16361; le opzioni call e put, strike 16000 e scadenza febbraio 2012, valevano, rispettivamente, 535 e 99. Quindi:

c = 535
p = 99
K = 16000
S0 = 16361
r = 1.32%
T = 7/365 (7 giorni, che separano l'istante t=0 dalla data di scadenze delle opzioni).

Calcoliamo ora i due membri dell'equazione:

Put-call parity: un esempio

Lo scarto tra questi due valori, inferiore allo 0.43%, è dovuto essenzialmente a due fattori: la rilevazione dei prezzi di c, p e S0, che deve essere puntuale, e lo spread tra le proposte di denaro e lettera del market maker. Al momento in cui scrivo, infatti, tali valori sono tratti dalla pagina:

http://www.borsaitaliana.it/borsa/deriv ... lista.html

del sito di Borsa Italiana e le rilevazioni dei prezzi della call e della put sono, rispettivamente: delle 17:25:16 e delle 17:39:03. La rilevazione dell'indice, invece, è delle 17:36:10. Vi è quindi mancanza di puntualità (temporale), come si affermava poc'anzi.

Si invita il lettore, tuttavia, a verificare sperimentalmente tale rilevazione durante un qualunque momento di mercato rilevando, magari con un foglio excel collegato in dde con la propria piattaforma di trading, tali quotazioni e, per i prezzi della call e della put, utilizzare il valor medio tra denaro e lettera (il cosiddetto mid).

Put-call parity approssimata e posizioni sintetiche

Spesso, la relazione put-call parity viene presentata nel modo:

c + K = p + S0

ossia con l'assenza del termine esponenziale che tiene conto dell'incidenza del tasso di interesse. E' opportuno osservare che, presentata in quest'ultimo modo, tale relazione è corretta solo in prima approssimazione. E lo scarto sarà tanto inferiore quanto più basso sarà il tasso privo di rischio (r) e quanto minore sarà la vita residua (T). Se si osserva l'esempio precedente si può notare che lo scarto è di soli 4 punti su 16000 (0.25 per mille!): infatti il tasso r è molto basso, in questo periodo, ed i giorni alla scadenza sono solo 7.

Esaminiamo, ora, le varie posizioni sintetiche che si possono ottenere combinando opzioni e future. Per semplicità usiamo la relazione approssimata.

S0 = c + K - p (acquisto del sottostante)

- S0 = p - K - c (vendita del sottostante)

- c = K - p - S0 (vendita di una call)

- p = - K - c + S0 (vendita di una put)

c = - K + p + S0 (acquisto di una call)

p = K + c - S0 (acquisto di una put)

Un esempio numerico di posizione sintetica

Facciamo un esempio. Supponiamo di voler acquistare il sottostante impiegando un'opzione call ed un'opzione put con strike 15000. Ci riferiamo, allora, alla prima delle precedenti sei relazioni:

S0 = c + K - p


Dalla pagina di Borsa Italiana, prima indicata leggo, per tale strike:

c = 1485
p = 16
S0 = 16361

Ciò vuol dire che, in luogo dell'acquisto diretto del sottostante a 16361, dovremo acquistare una call, strike 15000, a 1485 e vendere una put, medesimo strike, a 16. E questo implica una spesa immediata pari a 1469 punti. Sostituendo, nella precedente relazione, si trova:

16361 = 1485 + 15000 - 16

16361 = 16469

La differenza di 108 punti è da imputarsi alle ragioni già espresse e, per una piccolissima, parte, all'aver trascurato l'incidenza degli interessi.

Se, a scadenza, l'indice chiuderà a 17000, la put verrà abbandonata e la call varrà:

17000 - 15000 = 2000 punti.

Detratte le spese per l'acquisto della call e la vendita della put si perviene ad una differenza di: 531 punti. Se, invece, avessimo acquistato il sottostante direttamente, il guadagno sarebbe: 17000 - 16361 = 639 punti (a parte lo scarto dei 108 punti, già giustificato, le due posizioni - acquisto diretto del sottostante o acquisto sintetico del medesimo - sono equivalenti).

Una sola nota conclusiva, a margine di questa prima dissertazione: quando si replicano posizioni dirette con posizioni sintetiche occorre sempre sapere qual'è il sottostante governato dalle singole opzioni. Nel caso delle opzioni Mibo, ad esempio, ognuna di queste controlla un sottostante costituito dalla metà del paniere dei titoli rappresentato dall'indice. Quindi, se volessimo effettivamente replicare l'acquisto del paniere S&PMib40, dovremmo acquistare 2 call e vendere 2 put.

Analisi di una posizione sintetica per mezzo delle curve dei payoff

Ed ora cerchiamo di convincerci di tali relazioni combinando direttamente i payoff dei singoli strumenti.

Cominciamo con l'acquisto del sottostante per mezzo del future.



La figura illustra il payoff inerente l'acquisto di un future sull'S&PMib a 16500. Come si può vedere si tratta di una retta inclinata verso l'alto e passante per il punto di ascissa pari a 16500. Sull'asse delle ordinate è riportato il profitto/perdita al variare del sottostante; quest'ultimo, invece, è riportato sull'asse delle ascisse. Pertanto, se il sottostante si porterà a 17000 si avrà, corrispondentemente, un utile di 500 punti. Se, invece, si dovesse portare a 15000, si registrerà una perdita di 1500 punti.
L'equazione di tale retta la possiamo determinare col seguente ragionamento. Per ogni punto di aumento del sottostante (S) rispetto al valore di acquisto del future (S0), il nostro payoff sarà pari alla differenza S-S0, moltiplicata per il valore monetario di un punto (5 euro, nel caso del future sulla borsa italiana). In formula:



che possiamo anche riscrivere:



Dove abbiamo indicato con
f: payoff del contratto future acquistato (in sostanza è l'ordinata y)
S: valore del future (corrisponde all'ascissa x)
S0: valore del future al momento dell'acquisto

Confrontandola con l'equazione di una retta:



riconosciamo:

il coefficiente angolare, m, che è pari a 5;
l'intercetta, q, che è l'intersezione di questa retta con l'asse delle y, pari a 5S0 (e rappresenta la massima perdita nella quale può incorrere chi acquista un future). Nell'esempio che stiamo esaminando tale intercetta vale: 82500.

Quindi:



Proviamo a vedere se funziona. Se il sottostante si porta a 17000, il future varrà:



E, infatti, un guadagno del future di 500 punti equivale ad un guadagno, in termini monetari di 2500 euro (corrispondendo, un punto, a 5 euro).

Acquisto di una call

E questo, invece, è il payoff di una call, strike 16500, acquistata. Da un punto di vista geometrico si tratta di una spezzata descritta da una coppia di equazioni: una valevole se il sottostante è inferiore o uguale a 16500. L'altra, invece, valevole se il sottostante è superiore a 16500.



Indichiamo con
c: payoff della call (che descrive l'ordinata y)
S: valore del sottostante (che corrisponde all'ascissa x)
ST: valore del sottostante al momento della scadenza dell'opzione
K: valore dello strike
cp: premio pagato per l'acquisto della call

Matematicamente il Payoff di una call long, generalmente, viene analiticamente rappresentato nel seguente modo:



tale scrittura ha il seguente significato: a scadenza, occorre considerare il massimo tra:



e



Facciamo un esempio numerico riferendoci alla figura. Supponiamo di aver acquistato una call Mibo, strike 16500 a 500, e che il settlement sia eguale a 17100. Calcoliamo il premio sostenuto per l'acquisto della call in unità monetarie:



Dovremo allora confrontare:



con



Avremo, quindi, che:



Se, invece, il settlement fosse eguale a 14100, dovremo confrontare le quantità:





Avremo, quindi, che:



(in sostanza, come è noto, più del premio non potremo perdere).

E se il settlement, invece, fosse stato 16750? Provare per esercizio.