La volatilità

Ringrazio il padrone di casa per la fiducia accordata.
Spero di far bene e non deludere!

Il modello B&S - Contesto storico e antecedenti

E' nell'aprile del 1973 che il Chicago Board of Trade (CBoT) istituisce un mercato delle opzioni, la Chicago Board Options Exchange (CBOE), con il preciso scopo di trattare opzioni su azioni. Da allora è stato un continuo fiorire di nuovi mercati, come l'AMEX, il PHLX, il PXS e, con essi, un ampliamento dei sottostanti di riferimento: merci, valute, bond, indici e future.

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Il modello B&S - Contesto storico e antecedenti

In verità le prime negoziazioni di put e call si ebbero già nel XVIII secolo, in Europa e negli Stati Uniti. Tra queste, negli USA, la Put and Call Brokers and Dealers Association il cui scopo era quello di fornire meccanismi per riunire acquirenti e venditori.

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In tutti questi casi, però, si trattava di mercati con gravi mancanze. Due, in modo particolare:
a. l'assenza di un mercato secondario: chi comprava un'opzione, call o put che fosse, non poteva rivenderla prima della scadenza;
b. la mancanza di meccanismi di garanzia: se il venditore non risultava adempiente, in caso di esercizio dell'opzione, il compratore si vedeva costretto ad adire a costose vie legale.

Il modello B&S - Contesto storico e antecedenti

La finanza matematica, che non va confusa con la matematica finanziaria, deve probabilmente la sua nascita a Louis Bachelier (1870-1946), un matematico francese che nasce a Le Havre in una famiglia di commercianti e, nel 1900, discute con il grande Henry Poincaré la tesi di dottorato su la Théorie de la Spéculation. In questo lavoro viene per la prima volta introdotto il concetto di passeggiata casuale del prezzo di un'attività finanziaria. Bachelier trae ispirazione dai lavori di Brown (un botanico scozzese che fu il primo ad osservare il movimento rapido ed imprevedibile di granelli di polvere nell'acqua; fenomeno poi formalizzato da Einstein che lo denominò moto browniano proprio in onore di colui che lo aveva studiato per la prima volta) del quale riprende e approfondisce il concetto di processo stocastico basato su incrementi normali (o gaussiani).

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Bachelier osserva che i prezzi dei titoli compiono nel tempo una serie di movimenti aleatori, una sorta di “cammino casuale”. Le loro variazioni non vengono influenzate da quelle precedenti. In tal modo si può concludere che esse formano una sequenza di variabili casuali indipendenti con medesima distribuzione di probabilità. In definitiva, le variazioni del prezzo di un'attività finanziaria si dispongono formando una curva “a campana” con le variazioni di scarsa entità al centro - le più numerose - e quelle più ampie - le meno numerose - poste sulle “code” della distribuzione.
Bachelier, nei suoi studi, fu anche aiutato dalla singolare analogia che aveva colto tra il fenomeno finanziario e quello della diffusione del calore. Si trattava, dunque, di fenomeni completamente diversi, ma regolati da medesime leggi matematiche. Al punto che Benoit Mandelbrot, colui che per primo ha introdotto i frattali, un secolo più tardi osserverà che "è stupefacente che l'andamento dei prezzi dei titoli, il movimento delle molecole e la diffusione del calore appartengono tutti alla stessa specie matematica”(Il disordine dei mercati, Einaudi, 2005).

Purtroppo Bachelier non raccoglierà molto del suo lavoro. La borsa e la speculazione, considerate come attività non pregevoli, non erano certo il terreno ideale su cui coltivare una carriera eccellente. Ed anche il suo carattere, non certo facile, lo relegherà ad una vita accademica trascorsa nelle università di provincia senza mai giungere a Parigi. Soltanto nel 1956 viene riscoperta l'importanza del suo contributo alla teoria finanziaria, e più in generale all'analisi delle dinamiche probabilistiche in tempo continuo: quando viene pubblicata una tesi di uno studente di Paul Samuelson, sui prezzi delle opzioni, e le idee di Bachelier cominciano a prendere piede.

Il modello B&S - Contesto storico e antecedenti

Dopo i primi decenni successivi alla seconda guerra mondiale la finanza matematica comincia a strutturarsi come disciplina autonoma e, nel 1973, arriva il contributo di Black e Scholes.
Fischer Black (1938-1995), dopo essersi laureato in Fisica ad Harvard, consegue il dottorato in matematica applicata nel 1964, sempre ad Harvard. Nel '65 lascia l'ambiente accademico ed entra in una società di consulenza di Boston. Qui comincia ad interessarsi al problema della valutazione delle operazioni finanziarie. Elabora anche una certa equazione differenziale, che però lascia nel cassetto.

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Nello stesso periodo arriva al MIT Myran Scholes, un giovane economista canadese che si era specializzato a Chicago, per ricoprire la cattedra di Finanza. Fischer e Scholes si incontrano ed elaborano quel modello che successivamente sarà conosciuto come l'equazione di Black e Scholes.

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Per i due, inizialmente, il successo tarda ad arrivare. Le più importanti riviste americane dell'epoca, il Journal of Political Economy e la Review of Economics and Statistics rifiutano il loro articolo. Solo nel '73, lo stesso anno in cui a Chicago si permette che le opzioni siano scambiate in Borsa, (mettendo così fine al loro mercato non ufficiale), il loro articolo verrà pubblicato.
E così, assieme ai problemi posti dalle turbolenze finanziarie degli anni '70, alla relativa semplicità della loro formula, e all'attenzione del mondo accademico, per i due economisti nord-americani arriva il successo. Nel '97, per la loro teoria sul prezzo delle opzioni, Scholes vincerà il premio Nobel per l'Economia assieme a Robert C. Merton (con cui aveva cominciato a collaborare quando questi era ancora uno studente di Economia al MIT). Black era scomparso due anni prima, per un tumore alla gola.

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Prima di concludere questa breve escursione nel passato è giusto ricordare che nella storia di questa equazione è coinvolto anche un giapponese: il matematico Kiyosi Ito. Questo scienziato, nel 1944, estese l'integrale stocastico di Wiener. Certamente a quell'epoca, oltre trent'anni prima dei lavori di Fischer e Scholes, il matematico giapponese non poteva pensare che il suo integrale, tramite i cosiddetti processi di Ito ed il lemma che porta sempre il suo nome, sarebbe stato, qualche decennio dopo, uno dei mattoni più rilevanti per la costruzione del modello di Black e Scholes.

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Vorrei ricordare anche questo signore che si chiama Edward Thorp matematico statunitense.
Conosciuto più per aver sviluppato un modello matematico per vincere al gioco del blackjack spiegato nel suo libro: "Beat the dealer" che per studi quantitativi applicati alla finanza.

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mi limito a dire come Crozza: pare... ma io non ci credo...


http://www.fortunesformula.com/Black-Scholes.html

Hai fatto bene a citarlo, Antonio. In realtà, costretto dalla necessità di sintesi, l'ho tralasciato (assieme a tanti altri, per la verità).

Ma su Edward Oakley Thorp occorre comunque spendere qualche parola. E' un matematico ancora vivente, classe 1932, che nasce a Chicago e, dopo un master in Fisica, conquista il dottorato in matematica presso l'università della California, a Los Angeles. Qualche anno dopo diviene professore di matematica presso il prestigioso M.I.T..
Fonda il primo hedge fund che opera su basi di tipo quantitativo. E' anche cofondatore del primo hedge fund che opera con tecniche non direzionali.

"Giocando" con un IBM 704 scopre e dimostra come vincere matematicamente al Blackjack. In Beat the Dealer, best seller da lui pubblicato nel '62, spiega questa tecnica in modo dettagliato. Ma non è solo un teorico: Thorp dimostra sul campo le sue teorie. Decide di trascorrere molti weekend a Las Vegas e, al termine di ognuno di questi, riporta a casa cifre attorno ai 70000 dollari. E negli anni '90 viene imitato da alcuni studenti del M.I.T. che, guidati da un professore, imparano la tecnica descritta da Thorp nel suo libro vincendo centinaia di migliaia di dollari ai tavoli del Blackjack di Las Vegas.
Anche Hollywood si ispirò a questa vicenda e molti dei lettori, probabilmente, ricorderanno il film "21" (se non visto, se ne suggerisce caldamente la visione!).

Come riportato nell'interessante link proposto da AZ13, del quale suggerisco vivamente la lettura, si apprende che una formula simile alla B&S veniva usata da Thorp nei suoi sistemi di trading già dal 1969: ben 4 anni prima della pubblicazione ufficiale da parte di Black e Scholes!

Mauro mi associo agli altri ospiti di questo forum per ringraziarti e dirti che seguirò con molto interesse la prosecuzione di questo thread. ovviamente un grazie va anche al padrone di casa che rende possibili questi approfondimenti

Il modello B&S: idee guida e ipotesi di validità

L'intuizione fondamentale che soggiace al modello di Black e Scholes è che un titolo derivato è implicitamente prezzato se il sottostante è scambiato sul mercato. In sostanza, come vedremo ora con un esempio, la valutazione di un contratto derivato dipende unicamente dai termini del contratto e dalla volatilità del titolo sottostante.

Il modello B&S: idee guida e ipotesi di validità

Cerchiamo di far comprendere l'idea base per mezzo di un esempio. Consideriamo un'azione che oggi ha il prezzo di € 20 e che tra un mese varrà € 22 oppure € 18. Supponiamo di volere valutare un'opzione call che ci dia il diritto di acquistare l'azione, tra tre mesi, ad € 21.
Ciò che sappiamo, per certo, è che se il sottostante, dopo tre mesi, avrà il valore di € 22, la nostra call avrà il valore di € 1; se invece il sottostante, dopo tre mesi, avrà il valore di € 18, la nostra call avrà il valore di € 0.

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Se non vi sono possibilità di arbitraggio - ed è questa una delle ipotesi del modello di B&S - possiamo costruire un portafoglio di azioni ed opzioni in modo che non vi sia alcuna incertezza circa il valore che questo portafoglio avrà dopo tre mesi. Essendo un portafoglio non rischioso, dopo tre mesi il suo incremento sarà esclusivamente quello dovuto all'applicazione del tasso free risk. Questo ragionamento, come ora vedremo nel dettaglio, ci consente di determinare il valore dell'opzione.