La volatilità

La questione dei dividendi

Diciamo subito che i dividendi fanno diminuire il prezzo di un'azione il giorno in cui questi vengono staccati. E' certamente un fattore negativo, per una call; ma è un fattore positivo, per una put.
Da un punto di vista matematico, quindi, la relazione che c'è tra il prezzo di una call e l'importo dei dividendi attesi è negativa: all'aumentare dei dividendi diminuisce il prezzo della call. Mentre, per quanto riguarda una put, la relazione tra il prezzo di questa e l'importo dei dividendi attesi è positiva: all'aumentare dei dividendi aumenta il prezzo della put.

Ora, il prezzo del sottostante che noi inseriamo nella formula di B&S, lo potremmo considerare come costituito da due componenti:
a. una componente priva di rischio che verrà impiegata per pagare i dividendi attesi durante la vita dell'opzione;
b. una componente rischiosa.

La formula di B&S risulterà corretta, allora, se il valore del sottostante sarà pari alla sola componente rischiosa.

La questione dei dividendi

Facciamo un esempio numerico. Supponiamo di avere un'opzione scritta su un indice dove, tra i vari titoli, ve ne sono tre che pagano dividendo:
1. tra un mese, di € 0,5,
2. tra due mesi sempre di € 0,5
4. tra sei mesi di € 0,75.

Supponiamo, inoltre, che l'opzione scada tra tre mesi. Cosa dobbiamo fare? Dobbiamo attualizzare, alla data di oggi, gli importi dei dividendi che verranno staccati durante la vita dell'opzione per determinare quella che abbiamo indicato come componente non rischiosa.
Indichiamo con d1, d2 e d3 gli importi dei tre dividendi. Andranno attualizzati solo d1 e d2 in quanto d3 non viene staccato nel periodo di vita dell'opzione.

La questione dei dividendi

Indichiamo con r il tasso privo di rischio, che supponiamo pari al 5%. Indichiamo con T il periodo di attualizzazione annualizzato. Pertanto un mese sarà pari a 1/12 e due mesi equivarranno a 2/12.

Indichiamo, inoltre, con S0 il valore del sottostante (alla data odierna) comprensivo delle due componenti, con S0(r) la componente rischiosa e con S0(nr) la componente non rischiosa. Per la componente non rischiosa, allora, avremo:

VI37.png

La componente rischiosa, allora, quella cioè che dovremo inserire nella formula di B&S, dovrà valere:

VI38.png

La questione dei dividendi

Ecco, questo, in sintesi, è il modo corretto di procedere per applicare in modo non errato la B&S quando si è in periodo di stacco dividendi.

Come avevo già anticipato, però, si tratta di un'operazione articolata e complessa. Complessa, per la parte matematica che, comunque, una volta compresa si dovrebbe essere in grado di gestire. Articolata, invece, in quanto le informazioni in merito allo stacco dei dividendi non sono mai puntuali e precise. Come il lettore più attento avrà compreso, infatti, ciò che occorre inserire nella formula di attualizzazione dei dividendi è sia l'importo dei medesimi che la data in cui avviene lo stacco. E queste informazioni non sempre sono immediatamente disponibili (e sono anche difficilmente reperibili).

La questione dei dividendi

E allora? Che fare? L'idea è quella di far fare questo lavoro al market maker (mm), che sicuramente lo fa meglio di noi in quanto più informato e più tecnologicamente attrezzato.

Mi spiego meglio. Esiste una formula, la put-call parity, che mette in relazione i prezzi di una call e di una put dello stesso strike con il valore del sottostante (ed il tasso di interesse privo di rischio, che comunque è noto). Ciò significa che essendo questi prezzi tutti legati tra loro, il mm, per esporre correttamente le proposte di prezzo delle opzioni, deve aver tenuto conto dei dividendi.

Di questa formula ho già avuto occasione di parlarne qui:

viewtopic.php?f=2&t=389

La questione dei dividendi

Comunque, la riprendo velocemente anche qui. La formula è la seguente:

VI39.png

dove:
c e p sono i prezzi delle opzioni, per un medesimo strike
K è il valore di tale strike
S0 è il valore del sottostante nello stesso istante in cui vengono rilevati i prezzi c e p
r è il tasso privo di rischio
T è la durata (annualizzata) della vita rimanente alle opzioni

Da questa relazione, dopo un semplice passaggio, è possibile determinare il valore del sottostante:

VI40.png

Quindi, per ottenere il prezzo del sottostante, basterà sottrarre, al prezzo della call, quello della put, entrambe del medesimo strike; quindi, a tale differenza, sommare il prezzo dello strike attualizzato.

La questione dei dividendi

Facciamo un esempio in real time.

Realizziamo un foglio excel dove collegare, in dde, i prezzi bid e ask delle opzioni relative al DJ EuroStoxx 50, degli strike: 2600, 2625, 2650, 2675, 2700, 2725, 2750, 2775 e 2800. Nello stesso foglio, per i dovuti confronti, riportiamo anche il valore dell'indice (che rappresenta il nostro sottostante). E poi inseriamo i parametri necessari per il calcolo della put-call parity.

La rilevazione viene effettuata alle 14:04 di oggi, 10 giugno 2013. L'immagine mostra il foglio così come descritto. I valori di mid delle opzioni sono stati ottenuti dai valori di bid e ask raccolti tramite dde iwbank.

VI36.png

Si noti il valore della formula inserito in cella Q3: si tratta del calcolo del valore del sottostante (o, meglio, della componente rischiosa di quest'ultimo) eseguito per mezzo dell'applicazione della put-call parity. Tale formula è poi replicata nelle celle successive della medesima colonna. Come si può notare tutte indicano lo stesso valore, a meno della prima cifra decimale: si tratta di un errore inferiore allo 0,4%. Senz'altro dovuto alle inevitabili e molteplici approssimazioni eseguite dai vari sistemi coinvolti (excel, i server iwbank, i tempi di latenza, ecc.).

In cella K3, per un immediato riscontro, è stato riportato, sempre tramite collegamento dde, il valore dell'indice DJ EuroStoxx 50. Come si può notare, quest'ultimo risulta superiore di quasi due punti indice. Di cosa si tratta? Si tratta proprio della componente non rischiosa dovuta allo stacco di uno o più dividendi delle 50 azioni che compongono il paniere.

Ed ora la buona notizia! Possiamo anche disinteressarci di quali azioni, in quali date, di quali importi, ecc., ecc.. Il valore del sottostante depurato della componente non rischiosa lo otteniamo per via indiretta. Lo otteniamo, cioè, dalle informazioni che il mm è istituzionalmente costretto ad esporre, il bid e l'ask del prezzo di un'opzione.
E grazie, soprattutto, alla put-call parity.

Spero di essere stato chiaro.

Chiarissimo.

Complimenti Mauro e' un piacere leggerti.

La lettura della volatilità

A questo punto dovremmo essere in grado di poter cominciare a fare la lettura della volatilità implicita delle opzioni dello Stoxx 50.
La cartella excel che ho preparato, in questa prima fase, consta di 4 fogli:

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1. Parametri - Contiene i parametri necessari all'uso della B&S, il fattore di attualizzazione per la corretta applicazione della formula put-call parity, un campo con l'informazione di data ed ora dell'ultimo aggiornamento ed un pulsante per l'avvio delle due query.

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2. DatiCall - E' il foglio che contiene le informazioni inerenti la chain delle call, scadenza corrente.

3. DatiPut - Questo, evidentemente, è il foglio che contiene le informazioni inerenti la chain delle put, scadenza corrente.

4. Chain - Riepiloga i valori di bid ed ask, per ogni strike e per ogni chain. E' il foglio sul quale ci soffermeremo di più in quanto è quello nel quale calcoliamo le volatilità delle varie opzioni.

La lettura della volatilità

Inoltre, per risolvere una serie di problemini, sono state scritte alcune routine VBA che hanno i seguenti scopi:

a. poter eseguire l'aggiornamento delle query semplicemente per mezzo della pressione di un pulsante;

b. formattare le varie colonne e ripulire i fogli da informazioni non necessarie;

c. riordinare le due tabelle per poter impiegare la funzione CERCA.VERT.

VI45.png

Naturalmente non entreremo nel merito delle procedure VBA, soprattutto per rimanere aderenti all'obiettivo principale del thread.