La volatilità

La lettura della volatilità

Ed ora vediamo come è stato organizzato il foglio Chain.

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Per prima cosa, in questa prima fase, si è deciso di non leggere tutti gli strike: solamente 10 sopra e 10 sotto l'ATM.

Poi, come si può vedere dalla figura, si è impiegato l'uso della funzione CERCA.VERT per ricercare le informazioni di bid ed ask per ogni strike (sia per le call che per le put).

Quindi, in colonna D ed H, vengono calcolati i rispettivi mid (media aritmetica tra bid ed ask).

Nelle colonne E ed I, invece, vengono calcolate le volatilità implicite così come abbiamo fatto vedere in precedenza.

Infine, la colonna J riporta il valore del sottostante calcolato applicando la formula della put-call parity.

La lettura della volatilità

Concludo questo intervento con una prima veloce applicazione: lo skew di volatilità. Si tratta di un grafico che visualizza l'andamento della volatilità implicita al variare dello strike.

Come si può vedere, opzioni con diverso strike presentano volatilità implicita differenti. Si nota, inoltre, che le put Otm tendono ad avere volatilità implicita più elevata rispetto alle call Otm. Si tratta di un fenomeno assolutamente normale per gli indici azionari: gli operatori tendono a prezzare maggiormente le put Otm, rispetto alle call Otm, a causa dei ribassi che, quando si manifestano, hanno generalmente carattere di repentinità e profondità, a differenza dei rialzi.

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La volatilità implicita ponderata

Affrontiamo ora il calcolo della volatilità implicita ponderata. Ma ponderata con cosa? Ponderata con i volumi (in particolare con quelli che formano open interest). Già, perchè la ponderazione potrebbe essere fatta anche con altro, ad esempio con il vega. Ma andiamo per ordine.

Innanzitutto che cosa vuol dire volatilità implicita ponderata? A rigore, se volessimo adottare un linguaggio più appropriato, dovremmo dire: media ponderata della volatilità implicita. Si tratta, infatti, di una media (o, come dicono gli statistici, di un indice di posizione).

Dei principali indici di posizione ho già avuto modo di discuterne qui:

viewtopic.php?f=2&t=46

nell'ormai lontano novembre del 2011!

Comunque, riprendo volentieri il concetto di media aritmetica e, successivamente, definisco anche quello di media ponderata.

La volatilità implicita ponderata

Allora, supponiamo di avere n elementi numerici (in ambito statistico vengono denominati osservazioni) che indichiamo con:

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Per chi non lo conosce, quel simbolo che assomiglia ad un "3" rovesciato verso destra (in realtà è la lettera sigma maiuscola dell'alfabeto greco), in matematica è il simbolo di sommatoria e consente di scrivere, in modo più compatto, una somma di n termini. Si legge in questo modo:

... sommatoria, per i che va da 1 ad n, di xi.

In sostanza si assegna all'indice i il valore 1 (ottenendo x1), poi 2 (ottenendo x2), poi 3 (ottenendo x3), ... fino ad n (ottenendo xn). Quindi si sommano tutti questi elementi. Tale somma è poi moltiplicata per 1/n: il che equivale anche a dividere tutta quella somma per n.

La volatilità implicita ponderata

Ed ora facciamo un esempio numerico. Supponiamo che le nostre osservazioni siano proprio n volatilità implicite, diciamo 21, riferite a 21 strike dell'indice DJ EuroStoxx 50 della chain delle call. Quelle che in figura sono riportate nella colonna E, celle E3, E4, E5, ..., E23.

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e verifichiamo che anche excel, dove facciamo la conoscenza della funzione =MEDIA(), ci dica la stessa cosa:

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La volatilità implicita ponderata

Prima di passare oltre vorrei spendere due parole sul concetto di media aritmetica. La media aritmetica è un indicatore di sintesi, nel senso che tenta di individuare un rappresentante di un insieme di osservazioni. E' una sorta di baricentro, o punto di equilibrio, che bilancia le osservazioni di valore numerico più piccolo con quelle di valore numerico più grande. Pensate alla statura dei maschi italiani che hanno un'età maggiore di 16 anni e minore o uguale a 45 anni. Ebbene, se prendessimo le altezze di tutti questi signori, poi le sommassimo e poi dividessimo per il numero dei signori medesimi, otterremmo un valore, la media aritmetica, che tenta di rappresentare con un solo numero tutti quei valori (che, in questo esempio, sono più di qualche milione!).

La volatilità implicita ponderata

Da un punto di vista matematico, inoltre, la media aritmetica può anche essere vista come quel valore che sommato a se stesso per n volte (dove n è il numero delle osservazioni) equivale alla somma delle n osservazioni.

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Bene, a questo punto dovremmo aver raggiunto tre primi obiettivi:

- sappiamo che cos'è la media aritmetica;

- la sappiamo calcolare numericamente;

- sappiamo anche come farla calcolare ad excel.

La volatilità implicita ponderata

Ed ora affrontiamo il concetto della media ponderata.
La media ponderata (o pesata), che indichiamo con xp, è la somma di tutte le osservazioni ognuna delle quali è stata prima moltiplicata per un opportuno peso.

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Per meglio comprendere il concetto di media ponderata facciamo un esempio. Supponiamo di aver collezionato, in una disciplina, i seguenti voti in altrettante prestazioni scolastiche:

5, 6, 6, 7, 4, 5, 7, 5

Prossimi alla fine dell'anno scolastico, siamo desiderosi di conoscere qual è la media aritmetica dei voti conseguiti in tale disciplina. Facciamo il calcolo:

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Tiriamo un respiro di sollievo, sperando che il professore non sia particolarmente severo, confidando - inoltre - in una corretta approssimazione all'intero più vicino!

La volatilità implicita ponderata

Ma cosa c'entra, tutto ciò, con la media ponderata? Ebbene, se proviamo ad osservare meglio i voti delle singole prestazioni da noi collezionati, ci accorgiamo che alcuni di questi sono stati ottenuti per un numero di volte ripetute. Ovvero:

4 ----> 1 volta
5 ----> 3 volte
6 ----> 2 volte
7 ----> 2 volte

Ma allora, matematicamente, la precedente espressione la possiamo scrivere anche nel seguente modo:

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Le frazioni accanto ai valori delle osservazioni rappresentano proprio i pesi della media ponderata. Il voto 4, essendo presente una sola volta nella serie delle otto osservazioni, avrà peso 1/8. Il voto 5, invece, essendo presente tre volte nella serie delle otto osservazioni, avrà peso 3/8. E così via. Vediamo, allora, quali sono le caratteristiche matematiche di un peso:

- è un numero sempre inferiore all'unità (al massimo è pari ad 1, se tutte le osservazioni coincidono);

- il suo valore è tanto più alto quanto maggiore è il numero di volte che si ripete l'osservazione ad esso associata.

In sostanza il peso ci dice quanto è "importante" una certa osservazione.

La volatilità implicita ponderata

A questo punto dovremmo avere tutti gli strumenti concettuali per affrontare il calcolo della volatilità implicita ponderata.

La prima questione da dipanare è quella del calcolo dei pesi. Facciamo subito un esempio. Consideriamo, per semplicità, la seguente tabella contenente cinque strike relativi alla chain delle call, per ognuno dei quali è indicata la volatilità implicita ed il numero di contratti aperti (open interest) sul medesimo strike.

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Lo strike 2750, come si vede, ha l'OI più elevato e, pertanto, la volatilità implicita associata dovrà "pesare" di più rispetto a quella degli altri strike. Ora, come facciamo a calcolare il peso di questo strike? Ragioniamo. Se l'OI è 55, significa che ci sono 55 contratti aperti (o posizioni di interesse) su questo strike. Il totale degli open interest è: 55+52+48+40+42=237. L'OI dello strike 2750, allora, rappresenta il 23,21% circa del totale degli OI. Ed è propria questa percentuale il peso cercato.

Rivediamo allora la precedente tabella con l'aggiunta di una colonna: quella dei pesi.

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Bene, un ultimo passaggio e ci siamo. Per fare la media ponderata della volatilità implicita, come ormai dovrebbe esser chiaro, dobbiamo eseguire il prodotto di ciascuna volatilità implicita per il peso ad esso associata e fare poi la somma di tali prodotti. Facciamolo:

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Quindi, in generale, se indichiamo con VIi la i-esima volatilità implicita e con pi, l'i-esimo peso ad essa associato (e calcolato come abbiamo appena visto), possiamo in conclusione scrivere:

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