Il vomma

Vega in funzione della VI e dello strike

Cominciamo col vega.

Per la scelta degli strike ho operato nel seguente modo:

- mi sono centrato sull'attuale atm, 2500 circa;
- ho considerato solo quegli strike con le due ultime cifre pari a "00"; ho escluso quelli le cui ultime cifre erano "25" o "75" per poter indagare, in questo modo, un'escursione più ampia della variabile "strike". In sostanza ho utilizzato un incremento di 50 punti.

Scelgo la put, come tipo di opzione; ma i risultati, come abbiamo appena visto, sarebbero gli stessi se scegliessi una call.
Ecco il foglio risultante.

fig19.png

Piuttosto che realizzare un grafico nello spazio (il lettore tenga conto che un riferimento cartesiano nel piano non è più sufficiente, in quanto le variabili sono tre, ora), opto per una famiglia di curve parametriche, dove il parametro è il valore dello strike. La variabile delle ordinate, la y, rimane il vega e quella delle ascisse, la x, resta la VI.

Ecco il grafico.

fig20.png

Nonostante i colori siano di aiuto, trattandosi di 21 curve ho preferito scrivere, a fianco a ciascuna di queste, il valore dello strike a cui la curva si riferisce. Spero aumenti la leggibilità.

Ed ora facciamo qualche osservazione. La VI dell'atm (2550), attualmente, quota 22,13%. Se ci spostiamo 100 punti sopra, abbiamo 19,71%; mentre, 100 punti sotto, abbiamo 24,96%. Considerando questo intervallo di VI, gli strike candidati ad apprezzarsi meglio grazie ad un aumento di volatilità sembrano i 2350-2400-2700-2750.

Comunque, a beneficio di chi volesse approfondire, aggiungo anche lo skew di VI per gli strike più vicini, sopra e sotto, all'atm.

fig21.png

Vomma in funzione della VI e dello strike

Ed ora vediamo che ci dice il vomma. Anche qui, dopo aver preparato un foglio excel per il calcolo di questa greca relativamente agli stessi strike già considerati per il vega:

fig22.png

Rappresentiamolo graficamente optando, anche in questo caso, per la soluzione parametrica.

fig22.png

Come anticipato, nelle considerazioni precedenti, gli strike già menzionati sono quelli che mostrano un vomma crescente nel range di VI 17%-25%. Attenzione, però: al crescere della volatilità il vomma, sempre in riferimento agli stessi strike, tende ad appiattirsi: ciò vuol dire che il vega ha raggiunto un punto oltre il quale non cresce più.

Altra osservazione interessante è quella inerente gli strike 2250-2600-2500: il vomma, nel range di VI 17%-25%, è decrescente: ciò significa che il vega, nello stesso range, sta diminuendo la sua pendenza di crescita. Cioè, aumenta sempre, ma con minor velocità. Diciamo che sta decelerando.

Infine, una considerazione squisitamente matematica: il vomma è sempre positivo: una derivata positiva significa che la pendenza della funzione è crescente. Questo vuol dire che il vega, in un modo o nell'altro, è sempre crescente (poco, molto, con concavità rivolta verso l'alto, oppure verso il basso). Ma questo lo vediamo anche dal grafico che mostra l'andamento parametrico, rispetto allo strike, del vega.

.......Una sola attenzione: mentre i fattori d1, e d2 sono gli stessi per tutte le opzioni, il vega e la volatilità implicita, invece, devono essere quelli inerenti quell'opzione.

ciao Mauro,
sto leggendo il tutto.
Ti ringrazio enormemente per il lavoro titanico che hai fatto sulla volatilità e quello che stai affrontando ora.

Ho un dubbio: come mai dici che d1 e d2 sono gli stessi per tutte le opzioni? non dipendono dallo strike?

Ho provato a costruire un file excel con l'esplosione della black&scholes in tutte le sue determinanti, come hai mostrato nella pagina precedente, e in effetti i prezzi mi tornano con d1 e d2 diversi per ciascuno strike..

(EDIT: ho rimosso il file perchè non mi tornano alcune formule, chi lo abbia scaricato lo cancelli, lo sto sistemando...)

.......Una sola attenzione: mentre i fattori d1, e d2 sono gli stessi per tutte le opzioni, il vega e la volatilità implicita, invece, devono essere quelli inerenti quell'opzione.

ciao Mauro,
...

Ho un dubbio: come mai dici che d1 e d2 sono gli stessi per tutte le opzioni? non dipendono dallo strike?

Ho provato a costruire un file excel con l'esplosione della black&scholes in tutte le sue determinanti, come hai mostrato nella pagina precedente, e in effetti i prezzi mi tornano con d1 e d2 diversi per ciascuno strike..

formule_blackscholes.xls

Si, umbolox, hai ragione: d1 e d2 dipendono dallo strike (eccome, se vi dipendono!). In effetti, come forse avrai notato leggendo gli interventi successivi, stavo già pensando a come costruire un foglio dove, per ogni strike, vi fosse l'analisi del vega e del vomma rispetto alla volatilità implicita.

L'analisi del vega è corretta in quanto la formula di Hoadley che impiego non dipende da d1 e d2. Quella del vomma, invece, deve essere modificata, in quanto quest'ultimo dipende da d1 e d2; mentre io, invece, ho messo sempre il valore di d1 e d2 riferiti allo stesso strike (nel caso in questione, si tratta dello strike 2650).

Grazie per la segnalazione: correggerò quanto prima.

Correzione delle formule per il calcolo del vomma (1)

Ringrazio ancora umbolox, per la preziosa segnalazione.
Come già scrittogli nella risposta, l'analisi dinamica sul vega rimane, in quanto corretta. Va invece modificata quella sul vomma e, soprattutto, la tabella della chain già pubblicata con uno dei primi interventi dove, per ogni strike preso in considerazione, si evidenziavano le greche vega e vomma.

Correzione delle formule per il calcolo del vomma (2)

Prima, però, una considerazione di metodo: preferisco, in luogo di una correzione dei post precedenti, aggiungere l'intervento che segue, a rettifica dei suddetti post. Ciò sostanzialmente per due ragioni:
- vorrei che vi fosse "memoria storica" dell'intervento errato e della successiva rettifica (a tal proposito, "1948" di Orwell è una lettura davvero interessante!); anche a beneficio di coloro che dovessero leggere questo post in un futuro più o meno lontano da oggi;
- è utile, per i non esperti, assistere in diretta all'attività di ricerca di un esperto il quale, quando commette un errore (ravvisandolo su propria autoanalisi o, come nel caso in questione, perchè segnalato da un altro esperto), lo rettifica sostituendolo e spiegandolo con un'analisi corretta.

Correzione delle formule per il calcolo del vomma (3)

Prima di immergersi nella modifica dei fogli, però, è opportuno che i coefficienti d1 e d2 siano calcolati con specifiche function, per non appesantire le formule excel.
Però, anzichè riscriverle, userò quelle che ha usato umbolox nel foglio messo a disposizione nel suo ultimo intervento.

fig24.png

Si tratta delle formule per il calcolo delle determinanti della B&S elaborate dal noto Peter McPhee, esperto di programmazione VBA excel e finanza.
Quella cerchiata è la function che esprime il valore di d1. La successiva, invece, esprime il valore della funzione d2.

Colgo l'occasione per spiegare, brevemente, come si realizza una function in VBA. Le istruzioni:
Function e End Function sono parole riservate VBA che racchiudono le istruzioni necessarie per il calcolo di quella funzione.
Alla parola Function deve seguire il nome della funzione (che viene assegnato liberamente dall'utente che deve, comunque, rispettare le regole di costruzione di tale nome). Peter McPhee, in questo caso, ha deciso di scegliere, quale nome: dOne.
Tra parentesi tonde, subito dopo tale nome, vengono indicate le variabili di ingresso: sei, nel nostro caso, i cui nomi sono quelli indicati in figura.

Quindi, quando noi in una formula excel chiameremo dOne, assegnandogli tra parentesi tonde i valori numerici delle sei variabili, o gli indirizzi delle celle dove trovare tali valori, il sistema ci restituirà il valore di dOne (d1).

Correzione delle formule per il calcolo del vomma (4)

Proviamo a fare una verifica (che, come si è potuto osservare, non bastano mai!). Inserisco nelle celle D31 e D32 le formule per il calcolo di d1 e d2 realizzate da Peter, per confrontarle con quelle che avevo prima scritto io e riferite allo strike 2650.

fig25.png

Come si può notare i valori coincidono. A questo punto possiamo proseguire.

Correzione delle formule per il calcolo del vomma (5)

Ricalcoliamo il vomma nella chain delle opzioni utilizzando le function di Peter. Otteniamo il foglio illustrato in figura:

fig26.png

Un'altra considerazione a parziale rettifica di quanto affermavo negli interventi precedenti. Vi sono piccole variazioni del vomma, a parità di strike, di una call rispetto a quella di una put. Per esempio, nel caso della 2400 abbiamo 5,83 contro 5,98. Si tratta di 15 centesimi (una distanza di circa il 2,6%) dovuta al fatto che la VI, che teoricamente dovrebbe esser la stessa (anche per non consentire arbitraggi), in realtà è un po' più alta per le put rispetto a quella delle call. Questa differenza si riflette anche sul vega e, visto che il vomma dipende, oltre che da d1 e d2, anche da VI e vega, tali differenze sulla VI spiegano le differenze sul vomma.

Correzione delle formule per il calcolo del vomma (6)

Ripetiamo l'analisi dinamica del vomma, dopo aver modificato le formule errate.

fig27.png

Continuo a prendere in considerazione la put, piuttosto della call, nonostante vi siano le differenze prima indicate. Ciò in quanto si tratta di differenze minime, ai fini degli obiettivi della nostra analisi.

Ed ecco il grafico, per il quale valgono le considerazioni già effettuate, da un punto di vista qualitativo. Evidentemente, avendo modificato le formule, per correggerle, gli andamenti delle curve saranno differenti da prima.

fig28.png

Proviamo, anche qui, a delineare una prima analisi. Gli strike 2450-2500-2700-2750 presentano andamenti decrescenti. Ciò significa che il vega, relativamente a questi strike, pur crescente è in via di decelerazione.
Gli strike 2350-2400-2800-2850 hanno un andamento prima crescente, poi decrescente, dopo il raggiungimento del massimo in area 21%-23% della VI. Ciò significa che il vega, pur essendo sempre crescente, mostra prima un'accelerazione e, successivamente, una decelerazione.