La volatilità

L'interpolazione lineare (5)

Bene, credo che a questo punto il concetto di coefficiente angolare si possa ritenere chiaro.

Ed ora cerchiamo di capire cos'è l'intercetta. E' molto semplice: si tratta del punto, lungo l'asse delle y, in cui avviene l'intersezione tra il medesimo asse e la nostra retta.

Ad esempio, nel caso della figura successiva l'intercetta vale 2:

VI74.png

e quindi, avendo ipotizzato che per questa retta si ha un coefficiente angolare pari a -0,5 avremo, per la sua equazione:

VI78.png

Mentre, per la retta:

VI75.png

avremo:

VI79.png

Credo che a questo punto siamo pronti per affrontare come si risolve, operativamente, un problema di interpolazione lineare.

Determinazione della retta interpolante (1)

Nell'intervento odierno cercherò di dimostrare come, dati due qualunque punti nel piano cartesiano (un matematico aggiungerebbe, "non coincidenti") è possibile determinare l'equazione della retta che passa per tali punti. Non dimostrerò, in quanto credo sia evidente per tutti, che tale retta:

a. esiste;
b. e ve ne è una sola.

Ricordatevi, però, che un matematico, prima di tutto, si presterebbe ad una tale dimostrazione.

Determinazione della retta interpolante (2)

Indichiamo con A e B due qualunque punti del piano cartesiano.

VI80.png

Abbiamo detto che il coefficiente angolare m è definito come rapporto tra un incremento della y ed il corrispondente incremento della x.

VI81.png

L'incremento della y è la differenza tra la y del punto finale, nel nostro caso B, e quella della y del punto iniziale, ovvero A. In modo analogo per l'incremento della x. Sviluppando, si ottiene:

VI81bis.png

Determinazione della retta interpolante (3)

Scriviamo ora l'equazione della retta cercata:

VI81ter.png

Questa equazione è in realtà un'equazione parametrica nel parametro q. Che cosa significa? Vuol dire che questa equazione individua un fascio di infinite rette, tutte fra loro parallele. Quando fissiamo q non facciamo nient'altro che fissare, tra queste infinite rette, quella che interseca l'asse delle y nel punto q.

VI82.png

Determinazione della retta interpolante (4)

Ora, come facciamo a determinare il valore di q? Ebbene, dovendo questa retta passare per i punti A e B, vuol dire che le relazioni:

VI82bis.png

dovranno essere entrambe vere. Prendiamo allora una delle due e risolviamola rispetto a q. Otteniamo:

VI82ter.png

e questo è il valore dell'intercetta q. Se ora lo sostituiamo nell'equazione (1), otteniamo:

VI82quater.png

Che corrisponde, finalmente, all'equazione della retta passante per i punti A e B.

Per chi desiderasse approfondire il tema dell'interpolazione in generale (e non solo lineare) può intanto cominciare da qui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Interpolazione
dove, tra l'altro, è riportata anche l'equazione che qui abbiamo dimostrato.

Determinazione della retta interpolante (5)

Facciamo ora un esempio. Supponiamo che i punti A e B abbiano coordinate:

VI82_5.png

Qualcuno potrebbe chiedersi: "ma funziona anche al contrario? Ovvero, se di un punto D, conosciamo l'ordinata, possiamo calcolarne l'ascissa?" Certamente. Vediamo come. Supponiamo che tale ordinata sia -6 (facciamo qualche esempio anche con numeri negativi). Eseguiamo la sostituzione della y con tale valore, sviluppiamo i calcoli e troviamo il valore della x.

VI82_6.png

Determinazione della retta interpolante (6)

Proviamo ora a sviluppare una funzione in excel (Vba) che, date le coordinate di una coppia di punti, sia in grado di calcolare l'ordinata di un terzo punto, di cui è nota l'ascissa.

Credo che le istruzioni per definire tale funzione, in Vba, illustrate nell'immagine successiva, non abbiano bisogno di alcun commento:

VI83.png

Destiniamo alcune celle ad ospitare i valori delle coordinate dei punti noti e dell'ascissa del punto incognito:

VI84.png

Ora richiamiamo la funzione appena realizzata in Vba:

VI85.png

Inseriamo i valori, rispettando il corretto ordine e, finalmente, otteniamo:

VI86.png

che sappiamo essere corretto, in quanto è uno dei due esempi numerici che abbiamo fatto appena sopra.

Bene, con l'intervento successivo applicheremo tutto ciò al calcolo della VI relativamente a quegli strike di cui non disponiamo una o entrambe le proposte del market maker.

VI misurata e VI stimata (1)

Se il market maker non espone le proposte di bid e ask, o anche se ne espone solo una tra queste, non possiamo applicare quanto finora visto per la misura della VI. Che si fa, allora? Si procede ad una stima di tale grandezza attraverso un processo di interpolazione lineare. Naturalmente vi sono interpolazioni ancor più sofisticate, come quella polinomiale o la spline. In futuro, quando ci sarà occasione, proveremo ad approfondire anche tali tecniche.

Per il momento usiamo l'interpolazione lineare. Peraltro, anche il noto Hull la cita, quale processo matematico per la determinazione dei prezzi di opzioni non quotate (a partire da almeno due quotate, naturalmente).

VI misurata e VI stimata (2)

Riprendiamo la nostra cartella e lanciamo le routine che provvedono al calcolo della VI ponderata. Per il lato call otteniamo:

VI87.png

Come si può notare vi sono alcuni strike per i quali non è possibile il calcolo della VI in quanto non sono presenti le proposte del market maker (nel caso in esame mancano le proposte in denaro).

Proseguiamo. Per il lato put si ottiene:

VI88.png

Anche in questo caso, come è agevole notare, vi sono alcuni strike per i quali non è possibile il calcolo della VI in quanto non sono presenti le proposte del market maker (anche in questo caso mancano le proposte in denaro).

VI misurata e VI stimata (3)

Procediamo allora ad una stima della VI di tali strike per mezzo del processo di interpolazione lineare. Prima, però, è bene fare un'ulteriore riflessione.

Se il market maker non quota uno strike sul lato call ma, lo stesso strike, lo quota sul lato put, allora non ci sono problemi: per mezzo della put-call parity potremo procedere lo stesso al calcolo della VI.

Quindi, prima di attivare il processo di stima, si dovrà fare una verifica secondo quanto appena affermato.