La funzione di ripartizione

Diamo inizio a questo thread che, credo, possa destare interesse a qualche utente della comunità di optionclub.
Ho atteso un po' di tempo, dal primo momento in cui ho annunciato la mia disponibilità alla trattazione dell'argomento, per due ragioni:

a. era mia desiderio capire quanti fossero interessati ad un tema come questo;
b. avevo bisogno di un po' di tempo per riflettere sulla didattica da adottare per una trattazione che potesse risultare, ai più, gradevole ma, soprattutto, comprensibile.

In relazione al secondo punto, inoltre, c'è da considerare che prima di svolgere un determinato argomento (qualunque sia l'ambito disciplinare di appartenenza del medesimo: scientifico, tecnico o umanistico) è necessario comprendere quali debbano essere i prerequisiti necessari, da parte dei discenti fruitori, per poter affrontare con successo il corrispondente itinerario formativo.

Ho così passato un po' di tempo nel cercare di riflettere proprio a questo. Spero non sia stato vano.

Iniziamo.

Lo spazio dei campioni

E' uno dei fondamenti del metodo scientifico quello per cui se si esegue un esperimento nelle medesime condizioni si perviene a risultati che sono essenzialmente uguali.

Esistono però esperimenti, che anche se ripetuti nelle medesime condizioni, conducono a risultati differenti: si tratta dei cosiddetti esperimenti casuali.

Facciamo qualche esempio.

Il lancio di un dado a sei faccie - numerate da 1 a 6 - è un esperimento che offre uno tra sei possibili risultati appartenenti all'insieme:
{1, 2, 3, 4, 5, 6}

Il lancio di una moneta - indicando la faccia "testa" con T e la faccia "croce" con C - è un esperimento che offre uno tra due possibili risultati appartenenti all'insieme:
{C, T}

Il lancio di una moneta, ripetuto per due volte - adottando la medesima convenzione simbolica usata nell'esempio precdente - è un esperimento che offre uno tra quattro possibili risultati appartenenti all'insieme:
{CC, CT, TC, TT}

L'estrazione di una carta da un mazzo di carte francesi (che assommano a 52) offre uno tra 52 possibili risultati appartenenti all'insieme:
{Ac, 2c,...,Ap, 2p,...,Af, 2f,...,Aq, 2q,...,Jq, Qq, Kq}

In campo industriale possiamo considerare una macchina che costruisce viti: l'esito finale può essere una vite difettosa, oppure non difettosa. Anche questo può essere considerato, a buon diritto, un esperimento casuale i cui possibili esiti appartengono all'insieme:
{"vite non difettosa", "vite difettosa"}

Lo spazio dei campioni

Che cos'è, allora, lo spazio dei campioni? Consideriamo un esperimento casuale. L'insieme di tutti i possibili risultati di tale esperimento è detto, appunto, spazio dei campioni. Ciascun risultato (o esito) dell'esperimento è detto punto campione.

Generalmente lo spazio dei campioni viene indicato con

Lo spazio dei campioni, naturalmente, non è intrinseco all'esperimento, come erroneamente si potrebbe credere. Nel lancio di un dado, ad esempio, è naturale indicare lo spazio dei campioni in questo modo:

={1, 2, 3, 4, 5, 6}

ma perchè, implicitamente, abbiamo definito l'esperimento come: "risultato del lancio di un dado a sei facce". Se, invece, lo definissimo in questo modo: "... lancio di un dado il cui esito è una faccia pari, oppure una faccia dispari", avremo:

={pari, dispari}

Naturalmente questo esperimento non ci consentirebbe di sapere se il numero uscito è, o meno, divisibile per tre. Da 1 a 6, infatti, i numeri divisibili per tre sono due: 3 e 6. Il primo, però, è dispari; ed il secondo è pari.

E' altrettanto ovvio, naturalmente, che se abbiamo definito l'esperimento nel secondo modo significa, semplicemente, che non siamo interessati a rispondere a domande circa la divisibilità del numero estratto.

Spazio dei campioni discreto e continuo

Prima di affrontare questo punto vorrei fare una premessa. Nel caso di un esperimento in cui i singoli esiti non sono rappresentati da numeri, come nel caso del lancio di una moneta, è sempre possibile codificarli in modo numerico. Ad esempio, se codifichiamo con 0 l'esito "testa" e con 1 l'esito "croce", in luogo che con T e C, avremo:
={0, 1}

E, analogamente, nel caso dell'esperimento: "lancio ripetuto per due volte di una moneta", avremo:
={00, 01, 10, 11}

Se il numero dei punti campione di uno spazio dei campioni è finito, come in tutti gli esempi che abbiamo visto sinora, allora diremo che si tratta di uno spazio dei campioni finito.

Se il numero dei punti campione è pari ai numeri naturali 1, 2, 3, ..., allora siamo in presenza di uno spazio dei campioni numerabile.

Se, invece, i punti campione sono tanti quanti quelli contenuti in un intervallo dell'asse delle x, ad esempio:

allora siamo di fronte ad uno spazio dei campioni più che numerabile.

Uno spazio dei campioni che è finito o numerabile è anche detto discreto.

Uno spazio dei campioni che è più che numerabile è anche detto continuo.

Un esempio di spazio dei campioni numerabile è il seguente: "lancio di un dado a sei facce un numero di volte necessario per far sortire la faccia 6". E' chiaro che si tratta di uno spazio dei campioni del tipo:

={1, 2, 3, 4, ...}

Il punto campione 1 corrisponderà al risultato in cui la faccia 6 esce al primo colpo. Il punto campione 2, invece, equivale al caso in cui occorre fare due lanci per avere la faccia 6. E così via.

Un esempio di spazio dei campioni continuo è la misura del peso di un individuo prelevato arbitrariamente da una popolazione di individui. (Si ponga attenzione a non considerare tale esperimento come non casuale, o deterministico, in quanto, scelto l’individuo da misurare, c’è da aspettarsi che i risultati di misure ripetute siano approssimativamente i medesimi: la casualità è nella scelta dell’individuo da misurare estratto a caso dalla popolazione e non certo nell'esecuzione della misura).

Un evento è un sottoinsieme dello spazio dei campioni. E' un insieme di risultati possibili. Nel caso del lancio di un dado a sei facce, il cui spazio dei campioni è:

={1, 2, 3, 4, 5, 6}

Possiamo avere l'evento A, costituito dalla sortita di una faccia dispari:

A={1, 3, 5}

e l'evento B, ad esempio, costituito dal risultato "l'insieme dei numeri divisibili per 5":

B={5}

Un evento consistente di un solo punto campione è detto semplice o elementare.

Indicando con P(E) la probabilità che l'evento E si verifichi, avremo:





E, se indichiamo con C l'uscita della faccia 7, avremo:



è detto evento certo, in quanto comunque, dopo il lancio di un dado a sei facce, avremo l'uscita di una qualunque di queste;

è detto evento impossibile, in quanto comunque, dopo il lancio di un dado a sei facce, non si avrà mai l'uscita della faccia 7.

In definitiva possiamo concludere che la probabilità di un evento è sempre un numero reale compreso tra 0 e 1:

Variabili casuali

Supponiamo di aver definito un esperimento casuale avente il proprio spazio dei campioni . Supponiamo, inoltre, di assegnare a ciascun punto campione un numero (secondo una convenzione arbitraria ma, opportunamente dichiarata). Ebbene, in questo modo avremo una funzione definita sullo spazio dei campioni.

Nella letteratura del settore tale funzione è denominata variabile casuale (o stocastica, o aleatoria). Più propriamente occorrerebbe chiamarla funzione aleatoria (o stocastica).

Vediamo qualche esempio.

Esempi di variabili (o funzioni) casuali

Definiamo l'esperimento: "lancio di una moneta per due volte consecutive". Lo spazio dei campioni sarà:

={TT, TC, CT, CC}

Definiamo la variabile casuale X come "il numero delle volte il cui risultato è stato "testa".
Ad ogni punto campione, allora, assegneremo un numero secondo la seguente tabella di codifica:



Va osservato che sul medesimo spazio dei campioni potrebbero essere definite molte altre variabili casuali. Ad esempio:
a. "il numero delle volte il cui risultato è stato "croce";
b. "un numero che rappresenti il quadrato del numero di volte in cui risultato è stato "croce";
c. "un numero che rappresenti il cubo del numero di volte in cui risultato è stato "testa".

Capite che con un po' di fantasia possiamo arrivare ad una quantità enorme (infinità numerabile?) di variabili casuali.

Variabili casuali discrete e continue

Se una variabile casuale può assumere solo un numero finito di valori, o un'infinità numerabile, allora è una variabile casuale discreta.

Se, invece, una variabile casuale assume un'infinità più che numerabile di valori, allora è una variabile casuale continua.

Vediamo qualche esempio.
1. La somma dei punti esposti dalle due facce sortite nel lancio di una coppia di dadi, è una variabile casuale discreta (che può assumere i valori: 2, 3, 4, ..., 12).
2. La lunghezza di una barra di ferro, estratta a caso da un lotto di barre di ferro, è una variabile casuale continua.
3. La pressione sistolica di un soggetto, scelto a caso da una data popolazione, è una variabile casuale continua.

Distribuzioni di probabilità discrete

Supponiamo che X sia una variabile casuale discreta le cui modalità siano rappresentate dalle quantità numeriche: . E supponiamo, inoltre, che tali valori siano ordinati in modo crescente.

Con la scrittura:



valevole per:



vogliamo indicare la probabilità che la variabile casuale X assuma il valore . Generalizziamo definendo la funzione di probabilità (o distribuzione di probabilità o densità di probabilità):



che per vale , mentre per tutti gli altri valori della x vale zero.

Per tale funzione valgono le seguenti proprietà:

a.

b.

dove la sommatoria in b. è estesa a tutti i possibili valori assunti dalla variabile x.

La rappresentazione grafica di f(x) è detta grafico di probabilità.

Esempio di distribuzione di probabilità

Riprendiamo l'esempio visto poco prima e cerchiamo di determinare la funzione di probabilità e costruirne il relativo grafico.

Supponendo di avere a che fare con una moneta non truccata avremo, per ciascun evento, le seguenti probabilità:





Ricordiamo che in quell'esperimento la variabile casuale X è stata definita come "il numero delle volte in cui si verifica testa". Quindi, X=0 significa che lanciando due volte la moneta non esce mai la faccia testa. Tale evento coincide con CC. Pertanto:


X=1, invece, significa che lanciando due volte la moneta esce una sola volta la faccia testa. Tale evento è rappresentato da CT oppure da TC. Pertanto:


Infine, X=2, significa che lanciando due volte la moneta esce sempre la faccia testa. Tale evento è rappresentato da TT. Pertanto: