La funzione di ripartizione

Esempio di distribuzione di probabilità

Ed ora proviamo a rappresentare graficamente la P(X). Per far ciò ci avvarremo di un istogramma: lungo l'asse delle x rappresenteremo i valori che assume la variabile casuale X; lungo l'asse delle ordinate rappresenteremo i valori che, corrispondentemente, assumerà la probabilità P(X).

fig1.gif

Si osservi che la base di ciascun rettangolo è unitaria e centrata attorno al valore assunto dalla variabile casuale. Così, ad esempio, per X=0, avremo che il relativo rettangolo (il primo da sinistra) è centrato proprio attorno allo zero e si estende da -0.5 a +0.5 costituendo, così, un rettangolo di base pari ad 1. L'altezza di questo rettangolo, poi, è pari a 0.25, ovvero proprio a P(X=0).
Costruiti in questo modo, inoltre, ciascuno dei tre rettangoli ha area eguale al valore di P(X). La somma di queste tre aree, come abbiamo indicato nella proprietà b. delle funzioni di probabilità, equivale, quindi, alla somma di P(X=0),P(X=1) e P(X=2) che, come per tutte le distribuzioni di probabilità, eguaglia l'unità.

La funzione di ripartizione

La funzione di ripartizione, altrimenti definita - nella letteratura del settore - funzione di distribuzione cumulativa o, più brevemente, funzione di distribuzione, di una variabile casuale X è così definita:

P(X<=x) = F(x)

Questa espressione si legge in questo modo: F(x) rappresenta la probabilità che la variabile casuale assuma un valore inferiore od uguale ad x.

La funzione di ripartizione

La funzione di ripartizione si ottiene dalla funzione di probabilità nel seguente modo:



dove la sommatoria a destra è estesa a tutti i valori di t minori o uguali a x.

Naturalmente è anche possibile il procedimento inverso: ottenere la funzione di probabilità a partire dalla funzione di ripartizione.

Cerchiamo di capire meglio come, operativamente, si possa ottenere la funzione di ripartizione. Supponiamo che X assuma solo un numero finito di valori:



Allora la funzione di ripartizione vale:



Cerchiamo di applicare tutto ciò con un esempio.

Un esempio di funzione di ripartizione

Consideriamo sempre lo stesso esperimento già visto per il calcolo della funzione di probabilità. Ordiniamo le modalità della variabile casuale X; consideriamo, quindi, la prima di queste: X=0. A partire da meno infinito e fino a zero, ma escludendo tale valore, la funzione di ripartizione vale zero:



Tra X=0, questa volta incluso, ed X=1, escluso, la funzione di ripartizione vale il valore che aveva in precedenza, cioè zero, più il valore corrispondente alla P(0), che vale 0.25. Complessivamente F(x)=0.25. Quindi:



Tra X=1, ora incluso, ed X=2, escluso, la funzione di ripartizione vale il valore che aveva in precedenza, cioè 0.25, più il valore corrispondente alla P(1), che vale 0.5. Complessivamente F(x)=0.75. Quindi:



Infine, tra X=2, ora incluso, ed X=infinito, la funzione di ripartizione vale il valore che aveva in precedenza, cioè 0.75, più il valore corrispondente alla P(2), che vale 0.25. Complessivamente F(x)=1. Quindi:




Riportiamo tali valori su un grafico cartesiano:

fig2.png

Si tratta di una funzione a scala, sempre non negativa, il cui massimo valore è l'unità.

Se gli eventi del nostro esperimento non sono definiti in termini di probabilità come ci si comporta?

E' bene, a questo punto, aprire una breve parentesi per introdurre il concetto di frequenza.

Nell'approccio classico, o a priori, se un evento si può verificare in m modi diversi su n possibili, essendo questi tutti egualmente possibili, allora la probabilità di questo evento è m/n. E' il caso del lancio di una moneta non truccata, ad esempio, per la quale asseriamo che:

p(T) = p(C) = 1/2

ovvero, che la probabilità dell'evento croce è eguale a quella dell'evento testa e pari ad 1/2.
E' anche il caso del lancio di un dado a sei facce non truccato, per il quale asseriamo che la probabilità di sortita di ciascuna faccia è pari ad 1/6.

Se invece ci troviamo di fronte ad un esperimento per il quale osserviamo che il verificarsi di un evento, su n prove complessive, è pari ad m volte, affermiamo che la probabilità di questo evento è pari ad m/n. E' questa la probabilità empirica di un evento. Questo approccio, che richiede un numero di n prove molto grande, si chiama approccio frequentistico o a posteriori.

E' importante osservare, a mio avviso, che entrambi questi approcci vanno incontro a serie difficoltà: l'espressione "tutti egualmente possibili", nel primo approccio, e "un numero di n prove molto grande" nel secondo, denunciano una palese vaghezza.

Per questo motivo i matematici preferiscono introdurre la teoria della probabilità con l'approccio assiomatico.

Facciamo un esempio. Supponiamo di aver rilevato l'altezza, in cm, di 100 studenti di una certa università. Raggruppiamo gli individui in classi e determiniamo il numero di questi che appartengono a ciascuna classe.



La tabella va letta in questo modo: vi sono 8 studenti che hanno un'altezza compresa tra 166 cm e 170 cm (estremi inclusi). Ve ne sono 27, invece, che hanno un'altezza compresa tra 171 cm e 175 cm (estremi inclusi). E così via per ciascuna riga.
La seconda colonna rappresenta la frequenza assoluta con cui occorre ciascuna classe. E' anche possibile riportare le frequenze relative, in luogo delle assolute, rapportando ciascuna frequenza assoluta alla numerosità del campione (in questo caso pari a 100).
Questa tabella prende il nome di distribuzione di frequenza o tabella di frequenza.

Una possibile rappresentazione grafica, mediante istogramma, è riportata in figura (ottenuta con excel).

fig1.png

La rappresentazione grafica delle frequenze relative conduce ad un istogramma simile a questo e con un'unica differenza: la somma delle aree dei rettangoli è eguale all'unità.

Funzione di ripartizione

La distribuzione di frequenze relative di cui all'esempio appena esaminato può essere considerata come una distribuzione di probabilità in cui le probabilità sono state sostituite dalle frequenze relative.

In sostanza, possiamo pensare ad una distribuzione di frequenze relative come ad una distribuzione di probabilità empiriche.

Vediamo, allora, come ricavare la funzione di ripartizione in questo esempio. Se indichiamo con:

le classi di frequenza, e con:

le relative frequenze assolute, avremo:



Quindi, nel caso dell'esempio specifico:

La funzione di ripartizione

Ed ecco il grafico della funzione di ripartizione.

fig2.png

Si noti che sono state impiegate le frequenze assolute. Nel caso, invece, si opti per le frequenze relative si otterrà:

fig3.png

Che è equivalente al grafico precedente.

Dax: la funzione di ripartizione

Direi che a questo punto siamo pronti per costruire la funzione di ripartizione dell'open interest sulle opzioni di un determinato sottostante. Prendiamo, come esempio, il Dax.

Per prima cosa dobbiamo effettuare il download dei dati dal sito ufficiale della borsa dell'Eurex.

A questo indirizzo,

http://www.eurexchange.com/market/quote ... _C_en.html

troviamo l'elenco degli strike delle opzioni Call, scadenza terzo venerdì del mese di dicembre 2011.

Dax: la funzione di ripartizione delle opzioni Call

Lanciamo Excel ed eseguiamo la costruzione di una query sul Web per importare dati esterni all'interno di uno dei fogli della cartella di lavoro.

fig1.png

Selezioniamo la funzione:

Dati \ Importa dati esterni \ Nuova query Web