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17/02/2012, 14:01

La retta dei minimi quadrati: un esempio

Vediamo, allora, come è stato organizzato il foglio.

PadriFigli2.png

Nella colonna C avremo riportato, per ogni cella, il quadrato del corrispondente elemento x e, nella colonna D, per ogni cella, il prodotto tra l'elemento x ed il corrispondente elemento y.

Nella riga 14, per ogni colonna, riporteremo le relative somme.

Pertanto, avremo che:

$\sum_{i=1}^{n}x_i=921$

$\sum_{i=1}^{n}y_i=932$

$\sum_{i=1}^{n}x_i^2=70779$

$\sum_{i=1}^{n}x_iy_i=71579$

$(\sum_{i=1}^{n}x_i)^2=921^2=848241$

17/02/2012, 14:46

La retta dei minimi quadrati: un esempio

Riprendiamo le due equazioni che ci consentono di calcolare a e b:

$a={\frac{\sum_{i=1}^{n}y_i\sum_{i=1}^{n}x_i^2-\sum_{i=1}^{n}x_i\sum_{i=1}^{n}x_iy_i}\[n\sum_{i=1}^{n}x_i^2-(\sum_{i=1}^{n}x_i)^2}}$

$b={\frac{n\sum_{i=1}^{n}x_iy_i-(\sum_{i=1}^{n}x_i)(\sum_{i=1}^{n}y_i)}\[n\sum_{i=1}^{n}x_i^2-(\sum_{i=1}^{n}x_i)^2}}$

e sostituiamo i valori numerici parziali ottenuti nel foglio di lavoro:

$a={\frac{932*70779-921*71579}\[12*70779-(921)^2}}$

$a=37.73$

$b={\frac{12*71579-921*932}\[12*70779-(921)^2}}$

$b=0.52$

L'equazione cercata, finalmente, è:

$y = a+bx$

$y = 37.73+0.52x$

Naturalmente possiamo incaricare excel di fare tutti i calcoli, fino ad ottenere i parametri finali a e b (si noti, nella cella B17, la formula per il calcolo di a).

PadriFigli3.png

17/02/2012, 15:07

La retta dei minimi quadrati: un esempio

Ed ora facciamo un'analisi grafica dei dati ottenuti. Partiamo dal diagramma di dispersione, che rappresenta il campione in esame: i nostri dati in ingresso (per usare un linguaggio informatico).

PadriFigli4.png

Si tratta di una nuvola di punti che, con il potente mezzo di indagine della regressione (lineare, in questo caso), cercheremo - se possibile - di rendere meno "caotica".

Si noti che con A e con B - a mo' di esempio - sono stati indicati, rispettivamente, i punti relativi alle coppie:

$A:(x_1,y_1)$
$B:(x_8, y_8)$

(attenzione! in riga 2 abbiamo i dati inerenti la coppia 1, in riga 3 la coppia 2, e così via).

17/02/2012, 15:32

La retta dei minimi quadrati: un esempio

Vediamo come fare, ora, per disegnare la retta di regressione,

$y = 37.73+0.52x$

Per prima cosa vorrei provare a discuterla, affinchè sia chiaro al lettore che cosa stiamo facendo. Questa equazione ci dice che y, il peso dei figli, è pari al peso del padre (x) moltiplicato per 0.52; a tale prodotto va poi sommata la costante 37.73.

Non dimentichiamo che y è espressa in kg e, pertanto, ciascuno dei due termini, a e bx, sarà singolarmente espresso in kg. Quindi, per fare un esempio, se un padre pesa 80 kg, il corrispondente peso del figlio sarà:

$37.73 + 0.52 * 80 = 79.33 kg$

Potremmo dire, in sintesi, che il peso di un figlio è 37.73 kg più, circa, mezzo kg per ogni kg di peso del padre. Insomma, la pendenza di questa retta è 0.52: quindi, per ogni incremento unitario delle ascisse, si avrà un incremento di circa mezza unità delle ordinate.

Ed ora passiamo ad excel per la visualizzazione della retta.

17/02/2012, 15:49

Complimenti Mauro, si vede che sei padrone della materia per cui rendi questi concetti abbastanza semplici. :13

Ti chiedo una cortesia se è possibile: puoi condividere il foglio in maniera tale che possiamo seguire più la vicino la tua trattazione?
Grazie! :thanks

17/02/2012, 15:50

La retta dei minimi quadrati: un esempio

Faremo così. Supponendo di voler scandagliare l'asse delle ascisse da 71 a 82, porremo nella colonna E tali valori separati da un incremento unitario (71, 72, 73 ...). Nella colonna successiva, la F, porremo il valore della y calcolato sulla base della retta di regressione. Si osservi la figura successiva e si noti l'espressione della formula in F3 (dove, per comodità di copia successiva, i riferimenti alle celle B17 e B18 sono stati posti in assoluto).

PadriFigli5.png

Riporteremo poi, nel grafico a dispersione, i punti rappresentanti la retta di regressione nell'intervallo delle ascisse in esame. Ho volutamente adottato la scelta grafica della rappresentazione per punti (in fucsia), in luogo della linea continua, per meglio effettuare, visivamente, i confronti tra punti-osservati e punti-calcolati.

PadriFigli6.png

Ecco che dal caos, rappresentato da una nuvola di punti, emerge - grazie all'operazione dell'interpolazione - l'ordine.

Consentitemi, tra il serio ed il faceto, quest'ultima osservazione. Naturalmente, tornando seri, ci sarebbe molto da dire sull'analisi dei processi caotici (e la borsa, che mi sembra sia il processo al quale molti di noi guarda con un certo interesse :23

, è, certamente, un processo caotico).

Ora, prenderei una pausa prima del prossimo intervento.

20/02/2012, 19:34

Ancora sulla regressione: una formula diversa

Abbiamo fatto vedere che il coefficiente angolare della retta di regressione vale:

$b={\frac{n\sum_{i=1}^{n}x_iy_i-(\sum_{i=1}^{n}x_i)(\sum_{i=1}^{n}y_i)}\[n\sum_{i=1}^{n}x_i^2-(\sum_{i=1}^{n}x_i)^2}}$

Vorrei ora dimostrare un'espressione diversa per b - solo formalmente, naturalmente - e che ci potrà tornare utile in alcune occasioni.

Sviluppiamo l'espressione:

$\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$

dove con:

$\bar{x}$

si è indicata la media delle osservazioni x.

$\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=\sum_{i=1}^{n}(x_i^2-2x_i\bar{x}+\bar{x}^2)=$

$=\sum_{i=1}^{n}x_i^2-2\bar{x}\sum_{i=1}^{n}x_i+\sum_{i=1}^{n}\bar{x}^2=$

$=\sum_{i=1}^{n}x_i^2-2n\bar{x}^2+n\bar{x}^2=$

$=\sum_{i=1}^{n}x_i^2-n\bar{x}^2=$

$=\sum_{i=1}^{n}x_i^2-{\frac{1}{n}}(\sum_{i=1}^{n}x_i)^2=$

$={\frac{1}{n}}[n\sum_{i=1}^{n}x_i^2-(\sum_{i=1}^{n}x_i)^2]=$

20/02/2012, 19:49

Ancora sulla regressione: una formula diversa

Ed ora, sviluppiamo l'espressione:

$\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$

$\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=\sum_{i=1}^{n}(x_iy_i-\bar{x}y_i-\bar{y}x_i+\bar{x}\bar{y})=$

$=\sum_{i=1}^{n}x_iy_i-\bar{x}\sum_{i=1}^{n}y_i-\bar{y}\sum_{i=1}^{n}x_i+\sum_{i=1}^{n}\bar{x}\bar{y}=$

$=\sum_{i=1}^{n}x_iy_i-n\bar{x}\bar{y}-n\bar{y}\bar{x}+n\bar{x}\bar{y}=$

$=\sum_{i=1}^{n}x_iy_i-n\bar{x}\bar{y}=$

$=\sum_{i=1}^{n}x_iy_i-{\frac{(\sum_{i=1}^{n}x_i)(\sum_{i=1}^{n}y_i)}{n}}=$

$={\frac{1}{n}}[n\sum_{i=1}^{n}x_iy_i-\sum_{i=1}^{n}x_i\sum_{i=1}^{n}y_i]}=$

Una nota a beneficio di chi sta analizzando i passaggi della dimostrazione e ritiene di essersi perso. In alcuni, dei precedenti passaggi, si è fatto uso della definizione di media:

$\bar{x}={\frac{1}{n}}\sum_{i=1}^{n}x_i$

che, naturalmente, può essere scritta anche nella forma:

$n\bar{x}=\sum_{i=1}^{n}x_i$

20/02/2012, 19:50

Ancora sulla regressione: una formula diversa

Possiamo allora riscrivere, per b, l'espressione:

$b={\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}}$

Naturalmente sia questa, che quella precedente, ci raccontano la stessa cosa: il calcolo del coefficiente angolare della retta di regressione. Si tratta solo di due metodi di calcolo differenti. Excel, peraltro, utilizza proprio questo secondo metodo (come si può vedere da un estratto del manuale in linea del tool microsoft).

PadriFigli7.png

20/02/2012, 20:13

Calcolo della regressione lineare con excel

Ed ora, che abbiamo capito lo scopo della funzione di regressione lineare e come si procede per il suo calcolo, vediamo se excel ci può venire in aiuto sollevandoci dal calcolo di tutte quelle sommatorie che abbiamo visto nelle precedenti formule.

La risposta è si, naturalmente, e la funzione che excel ci rende disponibile per tale calcolo è PREVISIONE. AZ13 ne ha parlato qui a proposito della costruzione di indicatori basati sulla funzione di regressione.

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Interpolazione, regressione e correlazione

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