Interpolazione, regressione e correlazione

La covarianza: cerchiamo di comprenderne il senso

Calcoliamone i valori attesi:









Quindi:





e chiediamo conferma ad excel:

NoveCoppie3.png

La covarianza: cerchiamo di comprenderne il senso

Ed ora chiedo, al lettore, la massima attenzione. Se comprenderemo ciò che dirò a breve, a quel punto avremo compreso il significato di covarianza.

Riportiamo in un grafico cartesiano i 9 punti rappresentanti le nove coppie di valori osservati e, sempre nello stesso grafico, evidenziamo, con due segmenti tratteggiati, i valori medi precedentemente calcolati.

NoveCoppie4.png

Facciamo ora una trasformazione delle coordinate, in questo caso per traslazione degli assi: spostiamo l'asse x, verso destra, di 30 unità; e spostiamo l'asse y, verso l'alto, di 50 unità: l'origine del nuovo sistema di riferimento avrà coordinate, rispetto al vecchio:



Il generico punto:



avrà, nel nuovo sistema di riferimento, coordinate:



Per convincercene facciamo un paio di esempi. Consideriamo il punto , indicato in figura; nel nuovo sistema di riferimento avrà coordinate Si tratta di un punto che nel nuovo sistema di riferimento giace nel III° quadrante; quel quadrante che, come è noto, è costituito da punti che hanno valori, sia per l'ascissa che per l'ordinata, negativi.
Ed ora prendiamo il punto , anch'esso indicato in figura; nel nuovo sistema di riferimento avrà coordinate E' questo un punto che nel nuovo sistema di riferimento giace nel I° quadrante; quel quadrante che è costituito da punti che hanno sia l'ascissa che l'ordinata positive.

La covarianza: cerchiamo di comprenderne il senso

Torniamo adesso alla definizione di covarianza:



Come dovrebbe essere ora facile osservare, se l'i-esimo punto si trova nel III°quadrante, il prodotto:



sarà positivo (entrambe le quantità tra parentesi sono negative).

E, in modo analogo, anche se l'i-esimo punto si trova nel I°quadrante, avremo che la suddetta quantità sarà positiva (questa volta perchè entrambe le quantità tra parentesi sono positive).

Si comprende, allora, che se la nuvola di punti è disposta come in figura, il segno della covarianza sarà positivo, in quanto somma di prodotti, la maggior parte dei quali, aventi segno positivo.

SegnoCovarianza1.png

La covarianza: cerchiamo di comprenderne il senso

Se, invece, l'i-esimo punto si trova nel II°quadrante, il prodotto:



sarà negativo: i punti che giacciono in questo quadrante sono infatti caratterizzati da ascissa negativa e ordinata positiva.

E, in modo analogo, anche se l'i-esimo punto si trova nel IV°quadrante, avremo che la suddetta quantità sarà negativa (i punti che giacciono in questo quadrante sono caratterizzati da ascissa positiva e ordinata negativa.).

Si comprende, allora, che se la nuvola di punti è disposta come in figura, il segno della covarianza sarà negativo, in quanto somma di prodotti, la maggior parte dei quali, aventi segno negativo.

SegnoCovarianza2.png

La covarianza: cerchiamo di comprenderne il senso

E se i punti tendono a disporsi come in figura?

SegnoCovarianza3.png

Il segno della covarianza potrà essere positivo o negativo ma, il suo valore, tenderà ad assumere valori prossimi a zero. Ciò in quanto vi saranno punti che, perchè disposti nel primo o nel terzo quadrante, apporteranno contributi positivi; e, di converso, vi saranno punti che, perchè disposti nel secondo o nel quarto quadrante, apporteranno contributi negativi.

In conclusione, quindi, possiamo dire che la covarianza è una misura statistica di associazione tra due fenomeni che:

a. quando positiva, sta a significare che se uno di essi aumenta, allora aumenta anche l'altro;
b. quando negativa, sta a significare che se uno di essi aumenta, allora l'altro diminuisce;
c. quando prossima a zero, sta a significare che tra i due fenomeni non vi è associazione lineare: diciamo che sono statisticamente indipendenti (attenzione: da un punto di vista lineare, però! Ci torneremo, su questo).

Complimenti, aspettiamo tuo green light per porre domande senza interompere il filo.

Perchè non organizzare una giornata intensiva, meglio due, dal titolo
Statistica ed opzioni, modalità d'uso e controindicazioni

Sarebbe una grande occasione per approfondire l'applicazione della teoria nell'operatività del trading

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Ottima proposta, abc. Credo che se ne possa certamente parlare con il padrone di casa.

Se il padrone di casa batte un colpo, cominciamo ad organizzare

Verso il coefficiente di correlazione

Ora che dovremmo aver più chiaro il concetto di covarianza, facciamo alcune considerazioni.

Innanzitutto osserviamo che questa grandezza non è necessariamente priva di dimensioni. Se, ad esempio, la variabile x rappresenta l'altezza di n individui e la y il corrispondente peso, avremo che la covarianza sarà espressa nel prodotto cm x kg (se misuriamo l'altezza in cm ed il peso in kg).

Vi è poi un'altra osservazione da fare - a mio avviso ben più importante - in merito al significato da attribuire al valore assunto dalla covarianza. Possiamo noi dire che maggiore è tale valore e maggiore sarà il grado di dipendenza (lineare) tra le due variabili? Prima di fornire la risposta vorrei presentare alcuni altri esempi di calcolo della covarianza.

Verso il coefficiente di correlazione (esempio 1)

Un'indagine condotta dalla regione Piemonte aveva lo scopo di evidenziare una qualche relazione lineare tra il reddito pro capite individuale e la spesa per le attività legate al tempo libero. Riporto in figura i dati inerenti 11 individui.

ReddTemLib1.png

Nel vettore B2:B12 è riportato il reddito e in C2:C12 la spesa per il tempo libero. Nelle celle della colonna D, in corrispondenza, la differenza x-E(x) e nelle celle della colonna E, sempre in corrispondenza, la differenza y-E(y). I valori medi, necessari per il calcolo di questi scarti, sono riportati nelle celle B14 e C14. Infine, in ciascuna delle celle del vettore F2:F12, abbiamo i prodotti delle suddette differenze. Infine, nella cella C17, il risultato finale esprimente il valore della covarianza.

Il valore positivo della covarianza, 29743,80, ci dice che c'è dipendenza lineare positiva tra le due variabili. Ma quanto è intensa tale dipendenza?