Interpolazione, regressione e correlazione

Il coefficiente di determinazione: osservazioni conclusive

Ma questa percentuale del coefficiente di determinazione, è alta o bassa? Diceva un ricercatore delle discipline farmacologiche ad un altro.

La risposta a questa domanda non è unica. Dipende dal contesto disciplinare e dagli obiettivi del progetto di ricerca. Una considerazione che certamente mi sento di fare è che un coefficiente di determinazione di 0.30 può essere considerato abbastanza alto, ad esempio nelle scienze sociologiche; mentre un coefficiente di determinazione di 0.98 potrebbe essere considerato piuttosto basso, nelle scienze fisiche.

Insomma, la conclusione che vorrei condividere con il lettore, è che lo strumento matematico - per quanto potente, per quanto sofisticato - non riuscirà mai a darci una risposta esaustiva. E' la sensibilità del ricercatore, che opera in uno specifico contesto disciplinare ed è alle prese con un progetto di ricerca avente precipui obiettivi, che dovrà stabilirlo.

Ed è così anche per il ricercatore che vuole operare in modo serio e coscienzioso nell'ambito della finanza, dove la spiegazione degli andamenti è maggiormente dovuta a componenti casuali piuttosto che deterministiche. Egli dovrà dotarsi di una mentalità la più possibile aperta: direi, se mi si consente, scientifica.

Qui, però, mi fermo: non vorrei travalicare i limiti di coerenza imposti dall'oggetto del thread e da quanto mi ha chiesto il padrone di casa.

Prima di affrontare la questione del coefficiente di determinazione - in merito al quale, poi, riferirò su interessanti applicazioni che sono state proposte per l'analisi delle serie storiche finanziarie - vorrei dimostrare questo asserto:

Spero tu posa continuare, hai catturato l'attenzione sicuramente di molti, complimenti

La covarianza come somma di aree ?!
Anche se potevamo fidarci delle tue dimostrazioni matematiche, nel grafico si vede anche che il punto che ha come coordinate le medie passa per la Retta di regressione

Ottimo abc: devo desumere, allora, che le mie non sono state ...
... parole al vento!

Sono davvero contento.

Applicazioni alle serie storiche finanziarie

Avendo concluso con la parte teorica, vorrei proporre alcune modalità di analisi e di impiego degli indicatori esaminati. Naturalmente - e qui vorrei sgombrare il campo da facili aspettative - si tratta di metodi di indagine semplici, che fanno uso, appunto, degli indicatori studiati, e non hanno certo la pretesa di affrontare lo studio dei mercati finanziari in modo robusto e professionale. Lo dico subito in quanto, per tale percorso, occorre un armamentario di strumenti matematici (non deterministici) che, evidentemente, qui non abbiamo potuto trattare.

Ciononostante non disperiamo. Si può fare qualcosa, anzi più di qualcosa, anche con ciò che abbiamo.

Applicazioni alle serie storiche finanziarie

Partiamo con la collezione dei dati che andremo ad esaminare. Si tratta della serie storica giornaliera (OHLC : Open High Low Close) del noto indice EuroStoxx 50 (non il future) che copre il periodo 2/01/2009 - 3/03/2012. A fianco a questa, inoltre, ho aggiunto i valori di volatilità implicita che il sito dell'Eurex rende disponibili per questo indice. Chi è interessato qui può approfondire di che si tratta:

http://www.stoxx.com/indices/index_info ... ymbol=V2TX

Comunque, in estrema sintesi, si tratta dell'EURO STOXX 50 Volatility (VSTOXX), il cui valore è basato su una media dei prezzi delle opzioni trattate sul sottostante EuroStoxx50. Le rilevazioni avvengono in real time, ogni 5 secondi, e sono pubblicate con un ritardo di 15 minuti circa.
I dati qui messi a disposizione hanno una scansione giornaliera.

Ecco il foglio.

VolaStoxx.xls

Applicazioni alle serie storiche finanziarie

Cominciamo "giocando" con la correlazione lineare. Chiediamoci:

qual'è il valore dell'indice di correlazione tra queste due serie storiche?

Dobbiamo però aggiungere, anzi, specificare meglio. Quali serie storiche esattamente prenderemo in considerazione? E' opportuno che il lettore rammenti che la funzione che in excel calcola l'indice di correlazione si aspetta, quali dati di ingresso, due vettori di dati (ciò che altrove abbiamo anche indicato con punti osservazione x e y). Ebbene, il vettore X sarà costituito dalla serie storica che contiene la volatilità ed il vettore Y dalla serie storica che contiene la chiusura.

Proviamo a vedere che succede.

CorrelazioneStoxx1.png

Caspita: -86.9%! Vi assicuro che un tale valore è certamente da intendersi alto. Il segno negativo ci dice che la correlazione tra queste due serie di dati è inversa: ossia, all'aumentare di una diminuisce l'altra e viceversa.

Applicazioni alle serie storiche finanziarie

Esprimiamo ora alcune considerazioni su quanto fatto.

Che cosa significa esattamente ciò che abbiamo determinato?

E poi,

è possibile sfruttarlo in qualche modo nell'operatività quotidiana?

Tento di rispondere alla prima domanda. In realtà abbiamo calcolato l'indice di correlazione tra la serie storica delle X, volatilità, e quella delle Y, prezzi di chiusura. Tale indice ci dice che se X è grande lo è anche Y, e viceversa (a segni algebrici invertiti). Ma grande e piccolo rischia di avere poco senso se non lo relativizziamo a qualcosa.

Ed ora la seconda domanda. Operativamente sembra che dobbiamo vendere se la volatilità cresce e viceversa. Concetto che un'opzionista, almeno empiricamente, già conosce. Però noi abbiamo messo in relazione la volatilità dell'i-esimo giorno con la chiusura dello stesso i-esimo giorno. Ma, dirà qualcuno, noi siamo più interessati a sapere che cosa succede nell'(i+1)-esimo giorno. Mi sembra giusto.

Andiamo avanti.

Applicazioni alle serie storiche finanziarie

Aggiungiamo due colonne e calcoliamo i rendimenti giornalieri di queste due serie storiche. In particolare, per la serie delle chiusure, calcoleremo i rendimenti per mezzo del logaritmo naturale:



in sostanza, il rendimento al tempo t è pari al logaritmo naturale del rapporto tra il prezzo del sottostante, allo stesso tempo, e quello che aveva al tempo t-1 (ipotesi di distribuzione lognormale dei prezzi: che è alla base della formula di B&S).

Ecco il foglio con le variazioni indicate.

CorrelazioneStoxx2.png

Si osservi che, in questo caso, l'indice di correlazione è - 77.8% circa. E' un po' più basso - in valore assoluto - rispetto al precedente, ma è pur sempre un valore di tutto rispetto. Insomma, quello che possiamo concludere, è che anche i rendimenti dell'attività sottostante sono correlati negativamente con le variazioni percentuali della volatilità attesa dai market maker.

Applicazioni alle serie storiche finanziarie

Ed ora proviamo a fare qualcosa di concettualmente più sofisticato: imponiamo un ritardo alle rilevazioni del sottostante. In sostanza, metteremo in relazione le variazioni percentuali della volatilità con i rendimenti dell'indice Stoxx shiftati di un giorno. Ciò ci servirà per rispondere alla domanda:

se oggi registro una variazione percentuale positiva della volatilità, quale variazione del rendimento del sottostante mi attenderò per la chiusura di domani?

Ecco il foglio.

CorrelazioneStoxx3.png

Si noti, nella barra della formula, l'argomento della funzione e si osservi che il vettore delle chiusure è spostato in avanti di una cella (che corrisponde ad una sessione giornaliera di lavoro).
Si noti anche, purtroppo, che il risultato è abbastanza deludente: l'indice di correlazione, in valore assoluto, è del 3 per mille circa. Se ne conclude che vi è del tutto assenza di correlazione (lineare). Un'informazione di questo tipo, pertanto, è del tutto irrilevante per l'operatività del trader!

Il grafico dei rendimenti del file che hai messo a disposizione

Distribuzoine rend Stoxx.jpg