La volatilità

La capitalizzazione continua (3)

Ora che ci siamo convinti della giustezza della formula, chiediamoci che cosa succede in regime di capitalizzazione continua. O, anche, che cosa succede se la frequenza di calcolo del tasso di interesse aumenta tendendo all'infinito.

Infinito, in matematica, è un concetto e non un numero. Significa qualcosa di molto grande. Così grande che qualunque sia un numero da noi immaginato, molto grande, infinito sarà ancora più grande. Si rappresenta con il simbolo di un otto rovesciato:



Ora, per risolvere il nostro problema, dobbiamo ricorrere a quell'operazione che in analisi infinitesimale si chiama limite.
Ovvero:



Che significa che dobbiamo far crescere m facendolo tendere ad infinito, cioè ad un numero sempre più grande. Il risultato, che non è possibile qui dimostrare, vale:



dove , talvolta indicata con exp(x) è la funzione esponenziale. E' una funzione disponibile in tutte le calcolatrici scientifiche e, naturalmente, anche in excel.
Vediamolo subito in pratica. Partiamo sempre dall'esempio già mostrato. Immaginiamo di capitalizzare in modo continuo, al tasso del 6%, la somma di 1000 euro. Dopo un anno avremo:



che, come si può vedere, produce un risultato molto vicino alla capitalizzazione giornaliera.

E se, invece, si vuole determinare la perdita, a partire da una somma di 1000 euro, capitalizzata in modo continuo al tasso del 6% dopo il periodo di un anno? Sarà sufficiente anteporre il segno negativo al tasso. Vediamolo:



che, anche qui, fornisce un risultato molto vicino alla capitalizzazione giornaliera.

Un'ultima annotazione. L'esponente n deve essere espresso in anni o, per periodi inferiori all'anno in frazioni di esso. Ad esempio, se si volesse conoscere il valore che, in regime di capitalizzazione continua, assume la somma di 1000 euro al tasso del 6% annuale dopo un semestre, avremo n=0.5. In formula:

Letture suggerite per ulteriori approfondimenti

Prima di tornare alla discussione che più ci riguarda, quella sulla volatilità, vorrei segnalare, a coloro che intendono approfondire l'argomento sulla capitalizzazione continua e sui suoi legami con il mondo delle opzioni e dei future, l'interessante testo:

John C. Hull, Fondamenti dei mercati di futures e opzioni, Pearson Education Italia, 2005

Hull è professore di Derivatives and Risk Management presso l'Università di Toronto. L'edizione italiana è stata curata da Emilio Barone, titolare della cattedra di Economia del mercato mobiliare alla Luiss - Guido Carli di Roma.

Si tratta certamente di un classico, nell'ambito di questa materia, ed in Italia è ormai noto ad una moltitudine di studenti dei corsi di economia e finanza.

Devo però aggiungere che, nonostante l'efficacia didattica del professor Hull, il testo fa un continuo - e per certi versi necessario - riferimento ad argomenti di matematica per puntellare le tesi ed i modelli che via via vengono proposti (incluso quello di Black, Scholes e Merton per la valutazione delle opzioni).

B&S: un modello a tempo continuo

Chiusa la parentesi sul concetto di capitalizzazione continua, possiamo tornare alla volatilità.

Così come il tasso di interesse può essere composto a differenti intervalli di tempo, anche la volatilità può essere calcolata a differenti regimi. Nel modello teorico proposto da Black, Scholes e Merton, comunque, la volatilità viene calcolata in regime di capitalizzazione continua ed espressa in forma annualizzata.

Che cosa succederebbe se i movimenti percentuali di un sottostante, nel tempo, si distribuissero in modo gaussiano? Quando si assume che le variazioni percentuali dei prezzi di un'attività finanziaria si distribuiscano in modo normale la capitalizzazione continua di tali prezzi, a scadenza, produce una distribuzione lognormale.

DistrLognormale.png

Una tale distribuzione è distorta verso i valori positivi in quanto i rendimenti percentuali positivi risultano maggiori di quelli negativi. Negli esempi che abbiamo mostrato in precedenza si è visto, ad esempio, che una capitalizzazione continua del 6% produce, in un anno, su una somma di 1000 euro, un incremento di 61.83 euro. Mentre, sempre in regime di capitalizzazione continua, dopo un anno, una somma di 1000 euro, soggetta ad una decurtazione percentuale del 6%, produce una perdita di 58.24 euro. Se il 6% rappresenta la nostra volatilità, allora una deviazione standard verso destra è più ampia di una deviazione standard verso sinistra (cosa che non succede per una distribuzione normale!).

Il modello di B&S è un modello a tempo continuo. Esso assume che la volatilità di un determinata attività finanziaria sia costante per tutta la durata della vita dell'opzione (il lettore esperto trader in opzioni sa, tuttavia, che tale ipotesi nella realtà non è verificata) e che tale volatilità sia soggetta al regime di capitalizzazione continua. Questi due assunti conducono ad una distribuzione delle variazioni percentuali del sottostante di tipo lognormale.

Esso spiega anche il motivo per cui le opzioni call otm che hanno un prezzo di esercizio egualmente distante rispetto al prezzo di esercizio delle opzioni put itm quotino, rispetto a queste, un prezzo maggiore (anche se, nel mondo reale, questo non sempre accade).

La stima della volatilità in base ai dati storici (1)

Ipotizzando, per le variazioni dei prezzi di un sottostante, una distribuzione lognormale, siamo in grado di risolvere il problema che era stato posto in precedenza, ricordate? Si era scritto, infatti:

Ma vi è un altra questione. La distribuzione normale ha un serio difetto quando la eleggiamo quale legge di distribuzione dei prezzi di un'attività finanziaria. Cerchiamo di capirlo con un esempio. Supponiamo di acquistare a 50 euro una certa azione. Se noi ammettiamo che questa, nel tempo, possa più che raddoppiare, salendo, ad esempio, di 60 euro (è ovviamente del tutto lecito), della stessa quantità dovrà essere possibile che essa possa scendere. E ciò in quanto la distribuzione gaussiana è simmetrica. Ma un'azione non può assumere valori negativi: dovrebbe, nell'esempio appena fatto, poter quotare -10 euro!

La funzione logaritmo, infatti, tende ad infinito quando la variabile indipendente tende ad infinito; e tende a meno infinito quando la variabile indipendente tende a zero.
Con il logaritmo, quindi, possiamo rappresentare le variazioni dei prezzi in modo più vicino a quanto accade nel mondo reale.

logaritmo.png

La stima della volatilità in base ai dati storici (2)

Ed ora un'annotazione di matematica, come sempre necessaria. La funzione logaritmo e la funzione esponenziale sono una l'inversa dell'altra. Significa che se prendiamo un numero e ne calcoliamo il logaritmo e, del risultato, ne calcoliamo l'esponenziale, otteniamo il numero di partenza. In simboli:



o, che è la stessa cosa:



Bene, riprendiamo la formula che esprime la capitalizzazione continua:



dove il significato dei simboli dovrebbe già essere noto. Supponiamo di avere un sottostante che, al giorno i-esimo, mostra il prezzo Pi; e al giorno i-1-esimo, mostra il prezzo Pi-1 (in sostanza si tratta del prezzo del giorno precedente al giorno i). Chiediamoci: qual è stato il tasso di rendimento, r (annuale), nel passare da Pi-1 a Pi (è stata sostituita la variabile i, indicante il tasso di interesse annualizzato in decimale, con r per limitare l'eventuale confusione tra simboli). Vediamo.



da cui:



e, risolvendo rispetto ad rn (passando ai logaritmi):

La stima della volatilità in base ai dati storici (3)

Ora qui dobbiamo fare un po' di attenzione. Il tasso r è espresso su base annua ed n rappresenta il periodo di tempo, tra le due rilevazioni, espresso anche questo su base annuale. Se a noi interessa il rendimento ad un giorno, allora:



e quindi avremo:



che è proprio il rendimento giornaliero. Chiamiamo tale rendimento (rendimento giornaliero al giorno i). Una stima della deviazione standard, che indichiamo con s, dei rendimenti giornalieri è la seguente:



dove:



è la media delle rilevazioni ui.

(Ricordo che media e deviazione standard sono state trattate qui:
viewtopic.php?f=2&t=46).

La stima della volatilità in base ai dati storici (4)

Una precisazione sulla durata di un anno. Sappiamo che un anno solare (corrispondente al tempo impiegato dalla terra per percorrere l'orbita attorno al sole) dura 365 giorni (e 6 ore). L'anno commerciale, invece, è costituito da mesi di 30 giorni ciascuno e dura, pertanto, 360 giorni.

Per noi opzionisti, ancora, si usa eguagliare un anno al numero dei giorni di borsa aperta: convenzionalmente pari a 252. Ed è questo il valore che utilizzeremo da qui in avanti.

Una volta calcolata la deviazione standard del campione, s, possiamo determinare la deviazione standard della popolazione per mezzo della:



dove è la lunghezza dell'intervallo in anni. E, infine, si può dimostrare che l'errore standard di questa stima vale:



Da un punto di vista pratico spesso ci si chiede qual'è la lunghezza ottimale del campione (ovvero n). Naturalmente non esiste una risposta definitiva a tale questione. Da un lato si è portati a ritenere che più dati si usano e migliore sarà l'accuratezza. Di contro si ha, invece, che dati troppo vecchi potrebbero essere inerenti a situazioni di mercato ormai distanti da quelle del momento in cui viene eseguita l'analisi. Per molti un buon compromesso è quello di usare un campione di 90-180 giorni. La maggior parte dei trader in opzioni segue invece un'altra regola: utilizzare un campione con n all'incirca pari al tempo di vita dell'opzione che si sta valutando (in genere per le opzioni che trattiamo noi, con tempo di vita mensile, si usa n=21).

Ed ora non resta che esaminare un esempio.

Grazie ancora Mauro.......

P.s.: sono fuso.....

Grazie ancora Mauro.......

P.s.: sono fuso.....

Se la ...
... fusione e'dovuta alle ultime letture, non ti preoccupare: vedrai che con l'esempio andra' meglio!

la + chiara spiegazione sui logrendimenti che si trova in giro
avanti così!