La volatilità

Il modello B&S: idee guida e ipotesi di validità

Consideriamo un portafoglio costituito da un'opzione call venduta e da un certo numero di azioni. Quante? A questa domanda risponderemo tra breve. Indichiamo, comunque, con d il numero di queste azioni.

Il valore del portafoglio, dopo tre mesi, sarà:
a. se il sottostante ha raggiunto il valore di € 22: d*22 - 1
b. se il sottostante ha raggiunto il valore di € 18: d*18 - 0 = d*18

Se il portafoglio è privo di rischio, per un investitore sarà equivalente detenere l'una o l'altra posizione. Pertanto le due posizioni dovranno essere eguali. Quindi:

d*22 - 1 = d*18

ordinando i termini in delta:

d*22 - d*18 = 1

da cui:

d*(22 - 18) = 1

infine:

d = 1/4 = 0,25

Il modello B&S: idee guida e ipotesi di validità

Abbiamo determinato, quindi, il numero di azioni che dovremo detenere nel portafoglio affinché questo sia non rischioso. Infatti, sostituendo, si può far vedere che la scelta di questo parametro rende il portafoglio privo di rischio. Se il sottostante sale a € 22, il portafoglio avrà il valore di:

0,25 * 22 - 1 = 4,5

se, invece, il sottostante scende a € 18, il portafoglio avrà il valore di:

0,25 * 18 = 4,5

Alla scadenza dell'opzione, dopo tre mesi, il portafoglio ha sempre il medesimo valore, a prescindere dal valore assunto dal sottostante!

Il modello B&S: idee guida e ipotesi di validità

Ora, in assenza di arbitraggi, il tasso di rendimento di un portafoglio privo di rischio deve essere il free risk. Nel caso delle opzioni si considera il Libor sei mesi lettera. Supponiamo che tale tasso sia pari al 2%. Se il portafoglio dopo tre mesi vale € 4,5, allora il valore attuale del medesimo sarà:

VI14.png

Ricordo che nel campo dei derivati il calcolo degli interessi va eseguito in regime di capitalizzazione continua (se ne è già discusso qui:

viewtopic.php?f=2&t=402&start=40

in quel post si è anche fatto vedere come calcolare, in regime di capitalizzazione continua, l'attualizzazione di un determinato capitale).

T è il periodo su base annua (3 mesi sono 0,25 d'anno), ed r è il tasso di capitalizzazione.

Ora, al tempo iniziale, avremo:

0,25 * 20 - c = 4,478

ricordo che l'azione, al tempo iniziale, vale € 20. Da cui si ricava c:

c = 0,25 * 20 - 4,478 = 0,522

e questo è il valore che deve avere l'opzione in assenza di arbitraggio.

La quantità che abbiamo indicato con d è il noto delta. Una greca molto importante e che ogni option trader certamente conosce.

Il modello B&S: idee guida e ipotesi di validità

Questo esempio mostra l'idea che è stata impiegata per arrivare alla formula finale di B&S. Ciò che dovrebbe apparir strano è che in questa argomentazione non sono state utilizzate le probabilità associate al rialzo o al ribasso dell'azione. E' un risultato sorprendente e niente affatto intuitivo. E' abbastanza naturale che si sarebbe dovuto assumere che il prezzo di una call aumenti all'aumentare delle probabilità di rialzo del sottostante e, di converso, diminuisca il prezzo di una put. Ma non è così.
Se il lettore ripercorre i passi dell'argomentazione osserverà che non abbiamo valutato l'opzione in termini assoluti ma relativamente al prezzo dell'azione. Quei prezzi che abbiamo ipotizzato per l'azione dopo tre mesi (€ 22 e € 18) già incorporano le probabilità di rialzo e di ribasso dell'azione.

E' un'idea davvero geniale!

Il modello B&S: idee guida e ipotesi di validità

L'obiettivo di questo intervento, però, è quello di discutere della volatilità implicita e di come, questo indicatore, possa fornire importanti informazioni a supporto delle decisioni di un option trader.

Perciò non voglio dilungarmi oltre sul modello della B&S. Dirò soltanto che le ipotesi di validità del medesimo sono:
• le opportunità d'arbitraggio non rischioso non sono ammesse
• il sottostante e lo strumento derivato sono scambiati sul mercato in tempo continuo
• non sussistono costi di transazione, tassazione, né altro tipo di frizioni nel mercato
• vige la perfetta divisibilità di tutte le attività finanziarie (è possibile scambiare frazioni arbitrariamente piccole di ogni titolo sul mercato)
• è consentita la vendita allo scoperto del sottostante, come dello strumento derivato
• il prezzo del sottostante segue un moto browniano geometrico
• il tasso d'interesse privo di rischio, r, è costante e uguale per tutte le scadenze.
Inoltre, dalla formula finale che qui non mostriamo e non dimostriamo (non solo per le notevoli complessità matematiche, ma anche perché ci allontanerebbe troppo dall'obiettivo), i fattori che influenzano il prezzo di un'opzione sono:

il prezzo dell'azione, So
il prezzo di esercizio, K
la vita residua, T
la volatilità del prezzo dell'azione, (generalmente indicata con la lettera greca sigma)
il tasso free risk, r
i dividendi attesi durante il tempo T, (che indichiamo con D)

Il modello B&S: idee guida e ipotesi di validità

Questi fattori divengono le variabili di ingresso che alimentano il modello della B&S che fornisce, in uscita, il prezzo desiderato dell'opzione.

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Si tratta di grandezze tutte note tranne una: la volatilità del prezzo del sottostante. Questa grandezza, che non è osservabile in modo diretto, è detta volatilità implicita in quanto è, appunto, implicita nel prezzo dell'opzione osservato sul mercato.

Come facciamo a determinare la volatilità implicita? Usiamo sempre il modello della B&S esplicitato, però, non rispetto al prezzo dell'opzione ma rispetto alla volatilità implicita.

Mi spiego con un esempio. Quando scriviamo l'equazione di una retta, ad esempio, la scriviamo nel seguente modo:

y = mx + q

ciò in quanto, normalmente, ci interessa calcolare il valore della y, la variabile dipendente, dopo aver assegnato un valore alla x, la variabile indipendente. Ma potremmo anche voler rispondere ad un'altra domanda: qual'è il valore della x in corrispondenza di un determinato valore della y?
Procederemo, allora, nell'esplicitare il valore della x, in funzione della y. In particolare:

x = (y - q ) / m

Bene, per la volatilità implicita si procede allo stesso modo: si osserva il valore che il market maker assegna ad una determinata opzione e da questo si ricava il valore della volatilità implicita.

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Un esempio sulle opzioni MibO (1)

Usiamo il modello della B&S in modo diretto. In modo, cioè, per calcolare il prezzo di un'opzione, noti tutti gli altri valori.
Consideriamo la C17500 scadenza giugno 2013.
Impostiamo, quindi, tutti i valori noti (supponiamo di conoscere anche il valore della volatilità implicita):

il prezzo dell'indice FTSEMib, So = 17361
il prezzo di esercizio, K = 17500
la vita residua, T = 21/06/2013
la volatilità del prezzo dell'azione, 21,17%
il tasso free risk, r = 0,22%

Ed ora prendiamo un calcolatore di opzioni, ad esempio quello di AZ13.

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Inseriamo il valore dei parametri e confrontiamo il valore indicato per l'opzione dal calcolatore con quello di mercato.

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Come si può notare, il valore indicato dal calcolatore, 297, si colloca proprio a metà dell'intervallo bid-ask osservabile nella seconda immagine.

Una precisazione, doverosa, circa quest'ultimo aspetto. Precisazione che ci tornerà utile quando affronteremo più in dettaglio la volatilità implicita.

I valori del bid e dell'ask (o del denaro e della lettera) sono sempre presenti, a mercati aperti, nel book di un'attività finanziaria, qualunque essa sia. Ci dicono, in sostanza, qual'è il prezzo di colui (o coloro) che vuole comprare ed il prezzo di colui (o coloro) che vuole vendere. I migliori prezzi. Migliori nel senso che se io voglio vendere una C17500, ad esempio, il miglior prezzo, dal mio punto di vista, sarà 292 (vedi immagine precedente). E viceversa.
E allora, ci si potrebbe chiedere, come si fa a capire qual'è il prezzo "vero" di quel bene finanziario? Quello che dobbiamo inserire, ad esempio, in una cella excel per poi fare un determinato calcolo? Semplice: si fa la media tra i due. Si introduce quello che, nell'ambiente, è indicato come mid. Ovvero:

mid = (bid + ask ) / 2

Ci torneremo anche in seguito, quando analizzeremo i vari fogli excel che andrò via via a proporre.

Un esempio sulle opzioni MibO (2)

Ed ora facciamo il lavoro inverso. Usiamo, cioè, il modello della B&S in modalità indiretta. Il nostro problema, in questo caso, è quello di determinare il valore della volatilità implicita noti tutti gli altri parametri e noto, soprattutto, il valore dell'opzione.

Riferiamoci sempre alla stessa opzione: C17500/6. L'unico dato che nel frattempo è cambiato è il prezzo del sottostante, che ora vale 17422.

Osserviamo il mercato:

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E poi richiamiamo il calcolatore di AZ13. Ora, però, attenzione! Per determinare il valore della volatilità implicita occorre trovarla per tentativi. In sostanza andremo a modificare il campo C11 fino a che il valore dell'opzione non coincida con quello di mercato. Ovvero con il mid.

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Troviamo 21,27%.

L'indice DJ EuroStoxx 50

Questo indice di titoli, creato dalla Stoxx Limited, è un marchio di proprietà della Dow Jones & Company. L'obiettivo, dichiarato dalla società, è quello di rappresentare le maggiori società appartenenti all'eurozona.
L'indice è stato istituito il 31 Dicembre 1991 con il valore iniziale di 1000.
Le 50 aziende che vi fanno parte, alla data odierna, sono visibili al link:

http://www.stoxx.com/indices/index_info ... ymbol=SX5E

(selezionare la linguetta "components").

Al momento, nel gruppo dei 50, sono presenti 5 aziende italiane:
Assicurazioni Generali
Enel
Eni
Intesa San Paolo
Unicredit

Va da sé, pertanto, che acquistando tale indice si acquista anche una percentuale di quelle aziende italiane (da tener presente quando vi sono alcuni divieti, da parte della Consob, inerenti la compravendita di titoli che riguardano tutte o alcune delle società italiane quotate alla borsa di Milano).