Le posizioni sintetiche

Per una call long, in luogo della scrittura:



opteremo per quella della doppia equazione:



che diviene preferibile, come vedremo in seguito, quando si analizza il Payoff di un portafoglio di opzioni e/o future.

Vendita di una put

Anche il payoff di una put è descritto da una spezzata. Quello illustrato in figura è inerente ad una put, venduta a 250, strike 16500.

fig2.png

La descrizione analitica di questa spezzata è:



oppure, nella versione della doppia equazione:



che diviene preferibile, come già menzionato, quando si analizza il Payoff di un portafoglio di opzioni e/o future.

Facciamo, anche qui, un rapido esempio. Supponiamo di vendere una put, strike 16500, a 250 punti. Calcoliamo il premio in unità monetarie (euro)



Se, a scadenza, il settlement fosse 14000 avremo:



sostituendo:





Si provi, a mo' di esempio ed esercitazione, a calcolare il payoff di questa put short, a scadenza, ipotizzando settlement differenti.

Acquisto di un sottostante sintetico

Ed ora, finalmente, combiniamo l'acquisto di una call con la vendita di una put, stessi strike e scadenze, formando, in questo modo, un portafoglio di opzioni.
Il payoff del portafoglio sarà la somma dei payoff delle singole opzioni.





Per ottenere la doppia equazione rappresentativa del portafoglio di opzioni è sufficiente:

- sommare i due secondi membri per il caso
- sommare i due secondi membri per il caso

si ottiene:



ma, osservando con attenzione (dopo aver correttamente ordinato i vari termini), ci accorgiamo che le due equazioni sono eguali! E, quindi, possiamo scrivere:



valevole per qualunque valore di


Che è proprio l'equazione di un future. Si osservi, inoltre, che:

a. il coefficiente angolare non è 5 ma 2.5, come era lecito attendersi, dal momento che le opzioni Mibo governano la metà del sottostante governato da un future;
b. l'intercetta di questa retta è pari a: -2.5 K + pp - cp. Ovvero, 2.5 volte lo strike più il premio incassato dalla vendita della put, meno il premio sostenuto per l'acquisto della call.

Mi richiamerò, a quest'ultima affermazione, in occasione di un altro thread che aprirò a breve.

Spero sia stato chiaro!

Complimenti !!!

Grazie.

Nell' operativita' con le opzioni, creare un future sintetico ha dei vantaggi come descritto da te, ha pero' anche degli svantaggi, cioe' oltre al delta che hanno in comune, sintetico e non, quello sintetico ha ovviamente anche gamma theta e vega, percio' se devo aggiustare il delta di una strategia acquistero' direttamente il sottostante, quando usero' uno sintetico?

Grazie.

Nell' operativita' con le opzioni, creare un future sintetico ha dei vantaggi come descritto da te, ha pero' anche degli svantaggi, cioe' oltre al delta che hanno in comune, sintetico e non, quello sintetico ha ovviamente anche gamma theta e vega, percio' se devo aggiustare il delta di una strategia acquistero' direttamente il sottostante, quando usero' uno sintetico?

Attenzione, perchè un future sintetico si comporta esattamente come un future diretto: ha, quindi, delta unitario; e non è influenzato dalle altre greche. Per comprendere bene questo concetto prova a fare qualche simulazione. Ti accorgerai che un future sintetico, che puoi vedere come un portafoglio costituito da due opzioni (una comprata ed una venduta) - stesso strike e stessa scadenza - ha vega, theta e gamma nulle in quanto tali greche assumono, per ciascuna delle due opzioni, identico valore in modulo ma opposto in segno algebrico.

Grazie.

Nell' operativita' con le opzioni, creare un future sintetico ha dei vantaggi come descritto da te, ha pero' anche degli svantaggi, cioe' oltre al delta che hanno in comune, sintetico e non, quello sintetico ha ovviamente anche gamma theta e vega, percio' se devo aggiustare il delta di una strategia acquistero' direttamente il sottostante, quando usero' uno sintetico?

Attenzione, perchè un future sintetico si comporta esattamente come un future diretto: ha, quindi, delta unitario; e non è influenzato dalle altre greche. Per comprendere bene questo concetto prova a fare qualche simulazione. Ti accorgerai che un future sintetico, che puoi vedere come un portafoglio costituito da due opzioni (una comprata ed una venduta) - stesso strike e stessa scadenza - ha vega, theta e gamma nulle in quanto tali greche assumono, per ciascuna delle due opzioni, identico valore in modulo ma opposto in segno algebrico.

Grazie per la risposta Mauro.

Ho fatto come consigli ma evidentemente sbaglio qualcosa perche' il theta non è nullo!

Hai collegato in real time i dati?

Comunque, l'ho fatto io su excel e te lo spiego. Ho collegato i dati in real time della Call e della Put sul Dax, strike 6850 (atm, al momento in cui scrivo), scadenza corrente (marzo p.v.).

Qui, vedi i dati generali:

Dax6850MarzoDatiGen.png

come vedi, al momento in cui ho "scattato" la foto, l'indice batteva 6858.82. Nel campo Dte vi è la vita residua dell'opzione: in sostanza quanti giorni mancano alla scadenza rapportati alla durata dell'anno (solare).
Del risk free rate ho già detto in altro post. Il dividendo è zero, in quanto queste opzioni sono su indice che non paga dividendi.

Andiamo oltre.

Qui trovi i dati della c6850/03 (non far caso al resto delle celle, che contenevano dati inerenti opzioni scadute quest'oggi).

DaxC6850Marzo.png

Allora, osserva: nelle celle B8 e C8 ho incollato il collegamento DDE delle proposte denaro lettera del mm (market maker). Nella cella D8 ho calcolato la media tra questi due valori (il MID; in sostanza mi sono posto al centro tra bid e ask). Nella cella E8 ho calcolato la VI (Volatilità Implicita). Le greche delta, gamma, theta e vega nelle celle a seguire.

Per la p6850/03, ho eseguito le stesse operazioni.

DaxP6850Marzo.png

Ora, calcoliamo le greche di portafoglio. Supponiamo di aver acquistato una call e venduto una put. Per il delta dobbiamo sommare il delta di tutte le opzioni. Attenzione, perchè le vendute invertono il segno algebrico! Quindi, per il delta, avremo:

+0.53 - (-0.47) = 1

Che è quello che ci aspettavamo: equivalente ad un future acquistato.

Passiamo al gamma.

0.0010414 - 0.0010050 = 0.0000364

e tu mi dirai: il gamma non è nullo! Si, hai ragione, non è nullo a meno di 4 centomillesimi! Non mi dilungo oltre e, anzi, per esercizio, ti invito a calcolare tu il theta ed il vega di portafoglio.

Aggiungo solo, che è poi quello che a te certamente interessa in questo momento, che queste differenze sono poco significative ed imputate alle seguenti ragioni:

a. errori di approssimazione dei software (in questo caso excel, nel caso del programma che hai usato tu si tratterà di un altro motore software);
b. spread denaro-lettera dei mm che, per forza di cose, sono anch'essi approssimati (nel caso delle opzioni trattate sul dax l'approssimazione è di un decimale, che in termini monetari corrisponde a 50 centesimi di euro). Dico per forza di cose in quanto, altrimenti, dovrebbero esprimere le loro proposte con un maggior numero di decimali (con tutti i problemi che conseguirebbero).
c. la formula di B&S (Black&Scholes) inoltre, esprime valori di prezzo delle opzioni rappresentati, nella stragrande maggioranza dei casi, da numeri irrazionali, quindi con un numero infinito di cifre dopo la virgola. Infatti - non so se hai avuto occasione di analizzare tale formula - in essa, fra i vari operatori, compare il numero di nepero, e (2.71....), noto numero irrazionale e base dei logaritmi naturali e della funzone esponenziale (quest'ultima descrivente la funzione di Gauss).
d. ... e forse dimentico qualche altra ragione che conduce ad errori di approssimazione.