ELEMENTI DI TEORIA DEL PORTAFOGLIO

Con l’ausilio di Excel, ed usando alcune funzioni statistiche presenti nell'applicativo, procediamo al calcolo della media, varianza e deviazione standard della distribuzione dei rendimenti.

Qual è la media e la varianza di questo portafoglio?

La media o rendimento atteso del portafoglio è esattamente uguale alla somma dei singoli rendimenti che compongono il portafoglio pesandoli per la relativa percentuale che è stata investita in ciascuno di essi.
Ora, siccome avevamo considerato originariamente che il nostro portafoglio era costruito per metà da azioni A e per l’altra metà da azioni B il rendimento atteso di questo portafoglio è dato:

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Che può essere scritta anche così:

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Dato che:

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Calcolo della media di portafoglio con Excel

Per quanto riguarda la varianza del portafoglio non possiamo fare lo stesso ragionamento nel senso che questa non è uguale alla media delle varianze dei rendimenti delle due azioni.

In effetti la varianza di un portafoglio non dipenderà solo dalla variabilità dei rendimenti dei singoli titoli, ma anche dal modo con cui questi si rapportano fra loro. Sarà dunque necessario introdurre uno strumento in grado di catturare tali relazioni in tutte le singole coppie che compongono il portafoglio di riferimento: questo strumento proviene dalla statistica e si chiama Covarianza.

Come si calcola la covarianza?

È molto semplice: è sufficiente fare la differenza tra i vari rendimenti e la propria media, dopodiché si procede al prodotto di queste differenze. Si somma il tutto e si divide per il numero delle osservazioni della distribuzione (nel nostro esempio M = 12)

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Ecco come calcolare la covarianza con Excel:

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Naturalmente Excel dispone di una funzione che ci permette di calcolare direttamente la covarianza fra due gruppi di valori senza fare tutti questi passaggi.

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Di particolare importanza è il segno della covarianza. Nel caso in cui il suo valore risulti positivo, la coppia di titoli considerata avrà una certa concordanza, ossia una variazione positiva del primo titolo causa una variazione positiva anche per il secondo titolo. Se invece il segno della covarianza risulti negativo, allora la coppia presa in analisi avrà una discordanza, ossia una variazione positiva del primo titolo causerà una variazione negativa nel secondo.

A parte il segno, la covarianza è un numero difficile da interpretare in quanto la sua dimensione dipende dall’unità con la quale si misurano i rendimenti.
È opportuno pertanto ricorrere ad un ulteriore indice che possa effettivamente dare una informazione più gestibile dal punto di vista pratico come per esempio: il coefficiente di correlazione.

La formula per il suo ottenimento è la seguente:

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Per ottenere il coefficiente di correlazione è sufficiente dividere la covarianza per il prodotto delle rispettive deviazioni standard.

Il coefficiente di correlazione è un numero puro che può assumere valori compresi nell’intervallo -1 e +1 ed avranno la seguente interpretazione:

• se il suo valore è prossimo alle estremità allora i due titoli hanno una forte correlazione (positiva o negativa)
  
  
• se il suo valore è prossimo allo 0 allora i due titoli sono debolmente correlati

Come nel caso della covarianza, anche il coefficiente di correlazione può essere calcolato direttamente in Excel con una funzione apposita utilizzando come dati di input gli stessi vettori utilizzati per la covarianza.