La volatilità

Verso una definizione operativa di volatilità

Un primo modo di definire la volatilità è quello che fa riferimento al concetto che gli statistici chiamano range (o intervallo di variazione). E' certamente la misura più semplice da comprendere e, qualche tempo addietro, in questo forum, se ne è già discusso; qui:

viewtopic.php?f=2&t=46&start=40

Il range è la differenza tra il valore massimo ed il valore minimo assunti dalle nostre osservazioni. Nell'esempio che stiamo portando avanti avremo:

per l'azione Panda: 3.0% - 1.5% = 1.5%

e per l'azione Scoiattolo: 3.8% - 0.7% = 3.1%

Ora, sono convinto che sia chiaro per tutti, quella del range è una misura grezza, che tiene conto - soltanto - di quanto sono dispersi i dati; ma non di come. In sostanza il range considera solo i due valori più estremi e trascura il resto delle osservazioni. Queste, ad esempio, potrebbero:

- concentrarsi attorno al valor medio;
- concentrarsi attorno ad un altro valore;
- situarsi maggiormente verso gli estremi;
- distribuirsi in modo omogeneo.

Se vogliamo tener conto di come le osservazioni si distribuiscono attorno al valor medio dobbiamo ricorrere ad indici più evoluti. Ad indici che operano sullo scostamento medio: la deviazione standard e la varianza.

Anche questi due indici sono stati discussi nel topic già richiamato. Comunque, l'idea è la seguente: in luogo del range, che come abbiamo visto si riferisce a due sole osservazioni, qui si fa riferimento a tutte le osservazioni. Per ognuna di queste si calcola lo scarto, o scostamento, dalla media:



e poi si fa la media tra tutti questi valori.

C'è solo un problema: se noi operiamo in questo modo, alla fine il risultato sarà nullo.

Vediamolo con un esempio. Supponiamo che le nostre osservazioni siano le seguenti:







ora calcoliamo la media:



ed ora gli scarti:







e, infine, la media degli scarti:



come già anticipato la media degli scarti è nulla. Proprio per come è costruita la media aritmetica.

E questo è vero sempre: la dimostrazione rigorosa la evito, anche se non è particolarmente difficile da comprendere (se qualcuno è interessato, comunque, la possiamo vedere).

E allora? Che si fa se la media degli scarti dalla media aritmetica è nulla?
Si ricorre ad un vecchio artificio che i matematici usano in casi come questo: si elevano al quadrato gli scarti e poi si fa la media. In questo modo i negativi divengono positivi ed i positivi rimangono tali.
Vediamolo sempre nel nostro esempio:



Ciò che abbiamo ottenuto è la varianza. Il problema della varianza è uno solo: quello dell'unità di misura. Immaginiamo che le nostre osservazioni si riferiscano ai valori, in euro, assunti da una determinata attività finanziaria. Per esempio, un'azione. Che cosa ci dice la varianza? Ci dice quanto, questi valori, sono dispersi attorno alla loro media. Più è alto tale valore e maggiore è la dispersione. Il problema è che fornisce un valore in euro al quadrato. Che non ha una rispondenza reale.

La deviazione standard risponde anche a questo ultimo problema. Come? Estraendo la radice quadrata della varianza. Così, nel nostro esempio, avremo:



Ed ecco il motivo per cui, nella stragrande maggioranza delle situazioni, ed anche in finanza, si usa la deviazione standard.
A questo punto siamo pronti per la definizione di volatilità.

La volatilità come misura della velocità del mercato

Tra tutte le variabili che riguardano la valutazione del prezzo di un'opzione, la volatilità è certamente quella che meno comprendono la maggior parte dei trader. Al tempo stesso è, probabilmente, il parametro che nella maggior parte delle situazioni di trading gioca il ruolo più importante.

Il trader che opera direttamente sul sottostante è interessato essenzialmente alla direzione che questo dovrà prendere. Il trader che, invece, opera in opzioni, è interessato sia alla direzione che alla velocità con cui il sottostante si muoverà nella direzione auspicata. Per il compratore di una call strike 100, scadenza ad un mese, con il sottostante a 95, ad esempio, è necessario che nel tempo di un mese il sottostante cresca e superi quota 100. Diversamente, nel caso che ciò non accada, oppure accada successivamente alla scadenza dell'opzione, il compratore di quella call si troverà in mano un contratto senza più alcun valore.

In un certo senso la volatilità è una misura della velocità del mercato. I mercati che si muovono lentamente sono mercati poco volatili (quelli delle utility, ad esempio). Quelli che si muovono velocemente sono mercati molto volatili (come quelli del settore tecnologico).

Ma di quale velocità si parla?

Ora, a scanso di possibili equivoci, è bene definire in modo operativo il concetto di velocità di un'attività finanziaria. Lo dico per coloro che, giustamente, pensano al concetto di velocità così come riportato nei manuali di fisica: la velocità meccanica. Ovvero il rapporto tra variazione di spazio e variazione di tempo. Ricordiamolo un momento. Se un oggetto materiale si muove dal punto A al punto B percorrendo lo spazio SAB e, nel corso di questo spostamento, impiega l'intervallo di tempo TAB, allora esso si sarà mosso con velocità (media):



Coloro che - ripeto - giustamente, quando sentono la parola velocità, nella loro mente ricorre tale concetto non sbagliano. E allora? Che cosa si intende per velocità di un'attività finanziaria (come un titolo azionario, un'obbligazione, un indice, una commodity, ecc.)?
Ebbene, il concetto di velocità viene qui esteso. Il tempo rimane al denominatore e, al numeratore, fa la sua comparsa la variazione di prezzo che quell'attività finanziaria ha avuto in quell'intervallo di tempo. Quindi, per fare un esempio, se l'azione Scoiattolo, il giorno 1, vale 2.85 euro, ed il giorno 3 vale 3.25 euro, essa avrà mostrato una velocità pari a:



quindi, non più metri al secondo, come nel caso della velocità meccanica, ma euro al giorno, o dollari al minuto, o altro ancora. In generale: unità monetarie / unità temporali.

Alcuni esempi sul calcolo della velocità

Vediamo un paio di esempi. La figura successiva mostra l'andamento del titolo italiano Eni (una utility) nell'ultimo semestre. Il time frame è giornaliero.

Eni.png

Vogliamo, ad esempio, misurare la velocità del titolo nell'intervallo di tempo T0 - T1, corrispondente al periodo: 19/12/2011 - 16/01/2012. Usiamo i prezzi di chiusura. Il giorno 19 dicembre il titolo registra una close di 15.13 euro; il giorno 16 gennaio successivo la chiusura si attesta a 16.39 euro. La velocità mostrata, pertanto, vale:

Vediamo ora un altro titolo con rilevazione delle chiusure effettuata nello stesso periodo. Si tratta dell'andamento del titolo italiano Stm (settore tecnologico).

Stm.png

Anche qui il time frame è giornaliero. Misuriamo la velocità del titolo: il giorno 19 dicembre il titolo registra il prezzo di chiusura di 4.182 euro; il giorno 16 gennaio successivo la chiusura si attesta a 5.325 euro. La velocità mostrata, pertanto, vale:



in questo caso, invece, abbiamo circa 6 centesimi di euro al giorno.

Una prima conclusione

Attenzione, ora, a non tirare conclusioni affrettate. Si potrebbe infatti ritenere che, nel periodo considerato, i due titoli abbiano velocità confrontabili e, conseguentemente, volatilità confrontabili. Ma non è così! La volatilità, come vedremo successivamente, si misura a partire dai rendimenti e non dai prezzi in assoluto.

Ma, come raccomanda anche AZ13, senza fretta: assimiliamo bene i concetti che via via andiamo a discutere. Si tratta di temi che hanno bisogno di un certo tempo per ... essere ben digeriti .

Passeggiate casuali (random walks)

Consideriamo, solo per un momento, la famosa macchina di Galton, relativamente alla quale, AZ13 ha proposto un grazioso file excel che ne simula il funzionamento.
Chi fosse interessato lo può ritrovare qui:

viewtopic.php?f=2&t=118

al post delle 21:37 del 15/02/2012.

Il quinconce di Francis Galton (1822-1911) - che all'università gli studenti chiamano "pallinometro" - è un semplice strumento ideato per mostrare un comportamento casuale. E' costituito da una tavola verticale sulla quale sono disposti dei chiodini su N file orizzontali. L'esperimento consiste nel lasciar cadere, dall'alto e in successione, sfere di diametro inferiore alla distanza orizzontale tra due chiodini contigui e superiore alla sua metà, circa. Ciascuna sfera, spinta verso il basso dalla forza di gravità, urtando il primo chiodino che le si parà di fronte sarà costretta a deviare verso destra o versa sinistra, in modo del tutto casuale.
Dopo l'N-esima riga sono disposti dei contenitori aventi lo scopo di raccogliere le palline.

fig1.png

Chi volesse ulteriormente approfondire le speculazioni intorno alla macchina di Galton, trova qui una serie di dissertazioni, ed alcuni interessanti applet java:

http://cirdis.stat.unipg.it/files/macch ... index.html