La volatilità

La curva normale

Se riportiamo, in un grafico ad istogramma, il numero delle palline contenuto in ciascun bidoncino dovremmo osservare una distribuzione del tipo di quella indicata in figura.

fig2.png

Si può dimostrare, ma non è questo il punto che ora ci interessa, che se la probabilità che una pallina, dopo l'urto, vada a destra o a sinistra sia la medesima, quindi p=0.5, le palline si distribuiranno nei bidoncini raccoglitori secondo la distribuzione binomiale.

Se aumentiamo notevolmente il numero delle sferette che vengono fatte cadere nella macchina di Galton, possiamo approssimare l'inviluppo del grafico ad istogramma con la nota curva di Gauss, o curva normale.

La curva normale, che in realtà è una famiglia di curve, è molto importante in quanto è in grado di descrivere moltissimi fenomeni. In Fisica, ad esempio, è usata nell'ambito della teoria degli errori di misura.
In biologia, invece, si è osservato che la curva normale è adatta per rappresentare gli esiti di misurazioni di caratteristiche fisiche degli esseri viventi come l'altezza, il peso e la circonferenza toracica, solo per fare qualche esempio.

Una particolarità matematica della curva di Gauss è che essa è completamente descrivibile se si conoscono due soli parametri: la media e la deviazione standard.

Leptocurtica, platicurtica o mesocurtica?

Supponiamo, in un secondo esperimento, di chiudere alcune file di chiodi così come mostrato nella figura successiva. E' evidente che le sferette tenderanno ad essere raccolte, in maggior numero rispetto all'esperimento precedente, dai bidoncini centrali. L'istogramma che ne risulterà, pertanto, avrà una forma come indicato in figura: un picco più elevato e code più, sottili, rispetto al caso precedente.

fig3.png

Successivamente, in un terzo esperimento, proviamo a chiudere alcuni passaggi, come mostrato in figura. Questa volta la pallina, quando cade su un livello, dovrà muoversi, verso destra o verso sinistra, per una lunghezza maggiore. Ciò comporterà, rispetto ai due casi precedenti, che i bidoncini laterali raccoglieranno un maggior numero di sferette. E, in definitiva, la curva normale approssimante risulterà avere un picco più basso e code più grasse.

fig4.png

L'indice di curtosi, del quale diremo più avanti, mira a rilevare quanto una distribuzione è piatta oppure appuntita. Una distribuzione con la stessa curtosi della distribuzione normale è detta mesocurtica.
Le distribuzioni piatte con code ampie sono dette platicurtiche. Quelle appuntite, con code sottili, sono invece denominate leptocurtiche.

Torniamo alle opzioni

Ed ora facciamo un'analogia con il prezzo di un sottostante. Supponiamo che il movimento laterale della biglia corrisponda alla variazione del prezzo di tale sottostante: se questa, dopo aver urtato il chiodo, devia a destra, avremo una variazione positiva. Negativa nel caso contrario. Ed assumiamo che il passaggio della sferetta da un piano al successivo corrisponda al trascorrere di una giornata.

Relativamente al primo esperimento assumiamo che il sottostante, dopo una giornata, possa variare di un euro in più o in meno. La distribuzione delle sferette nei vari bidoncini, allora, corrisponderà alla distribuzione del prezzo dopo un periodo di 15 giorni (essendo 15 i piani che la pallina è costretta ad attraversare in sequenza).

Il secondo esperimento, invece, corrisponde ad un sottostante la cui variazione di un euro - positiva o negativa - si realizza nell'arco di due giorni, in luogo di uno. Ed anche in questo caso la relativa curva a campana, alta e stretta, corrisponderà alla distribuzione dei prezzi.

Il terzo esperimento, infine, corrisponde ad un sottostante la cui variazione giornaliera, questa volta, sarà di due euro (in più o in meno). Ed anche in questo caso la relativa curva a campana, bassa e panciuta, corrisponderà alla distribuzione dei prezzi.

Cosa potremmo dire, allora, relativamente alla valutazione di una call, strike 105 euro, scadenza tra 15 giorni, con il sottostante che quota 100 euro? E' evidente che dipenderà da quale ipotesi si potrà fare in merito alla distribuzione dei prezzi. Nel caso della seconda curva, ad esempio, le probabilità che la nostra call finisca ITM saranno certamente inferiori rispetto al caso della terza curva. Conseguentemente il valore dell'opzione che stiamo considerando sarà più basso nel caso due e più alto nel caso tre.

fig5.png

Pertanto, relativamente al tema della volatilità che qui si sta trattando, possiamo considerare la prima curva come una distribuzione dei prezzi a volatilità moderata. La seconda curva, invece, corrisponderà al caso di una distribuzione dei prezzi con bassa volatilità. E, infine, la terza curva sarà associata ad una distribuzione dei prezzi ad elevata volatilità.

Attenzione, però! E' bene sottolineare che le affermazioni appena indicate sono valide nell'ipotesi in cui i prezzi del nostro sottostante si muovano in modo del tutto casuale. Ovvero effettuino una passeggiata casuale (o random walk, come spesso si dice).

Prima di osservare un'altra interruzione, vorrei avvisare il lettore che alcuni degli argomenti che qui ho utilizzato (incluse alcune immagini), sono di Sheldon Natenberg, verso il quale sono felice debitore per una certa parte della mia formazione.
Pertanto, Option volatility & pricing, edito dalla Mc Graw Hill, del 1994, è un testo del quale suggerisco caldamente la lettura.

Un breve cenno alla curva normale o di Gauss

Vorrei ora spendere solo due parole (promesso!) sulla curva normale o, anche detta, curva di Gauss. Si tratta di un'equazione che descrive la densità di probabilità di una variabile aleatoria di tipo continuo.
Ricordo che una variabile aleatoria (o casuale) è l'insieme dei possibili risultati di un esperimento casuale; ovvero, di tutte le modalità con cui occorrono gli esiti di una prova. Pensiamo al lancio di una coppia di dadi. Tutte le modalità di questo esperimento casuale sono 11:

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12.

Oppure pensiamo al peso di un neonato di 6 mesi (circa) di vita. Si tratta di un numero che potrebbe essere, ad esempio:

2.2 kg, 1.8 kg, 3.1 kg, ...

Nel primo caso (il lancio di una coppia di dadi) abbiamo a che fare con una variabile casuale discreta, in quanto il numero complessivo di modalità in cui l'esito dell'esperimento può avvenire è finito.

Nel secondo caso (il peso di un neonato), invece, siamo di fronte ad una variabile aleatoria di tipo continuo; ciò in quanto il numero dei possibili casi è infinito. Attenzione! Non si confondano gli estremi dell'intervallo con l'ampiezza del medesimo. Ad esempio, se questa variabile casuale può assumere valori compresi nell'intervallo (1.2 - 3.8) kg, non vuol dire che essa è discreta: infatti, in tale intervallo, il numero dei possibili pesi è infinito! Quanti numeri ci sono tra 1 e 2?

Distribuzione di probabilità e densità di probabilità

Ora, nel caso dell'esperimento del lancio di una coppia di dadi, l'insieme delle probabilità associate a ciascuna modalità è indicato col termine funzione o distribuzione di probabilità (in quanto la variabile casuale è discreta). La sua rappresentazione grafica è spesso effettuata per mezzo di un istogramma.

Nel caso del peso di un neonato, invece, l'insieme delle probabilità associate a ciascun esito si chiama funzione di densità di probabilità (in quanto la variabile casuale è continua). La sua rappresentazione grafica è una funzione di tipo continuo.

La curva di Gauss

Torniamo alla curva di Gauss. Diciamo subito che:

a. la sua equazione è:



è facile osservare che tale curva è completamente nota quando sono conosciuti il valor medio μ e la deviazione standard . Il valore assunto dalla variabile casuale (o modalità) è x e la probabilità associata a tale valore è f(x).

b. La curva è del tipo mostrato in figura. Si noti che le curve rossa, verde e bleu hanno stesso valor medio ma deviazione standard differente: maggiore nel caso della bleu e minore nel caso della rossa. La curva rosa, invece, ha sia valor medio che deviazione standard differenti.

Gaussiana.png

c. Per calcolare la probabilità che una determinata variabile casuale assuma un valore compreso in un certo intervallo è necessario calcolare l'area sottesa dalla curva in tale intervallo. Tale operazione si esegue per mezzo di un operatore matematico detto integrale. Ad esempio, nel caso della figura,

GaussianaArea.png

la probabilità che la variabile casuale (di valor medio pari a 10) assuma un valore compreso tra 12 e 14 vale:



nessuno si spaventi, però! Esistono delle tavole concepite allo scopo di evitare il calcolo di questo integrale e delle quali diremo più avanti.

d. Infine l'area complessivamente sottesa dalla curva è uguale ad 1.



Ciò in quanto tale area rappresenta l'insieme delle probabilità associate a tutti i possibili valori assumibili dalla variabile aleatoria.

La curva normale standard

Prima di affrontare le questioni più specificatamente volte alla volatilità è necessario che concluda il discorso sulla curva normale introducendo la versione standardizzata.
Abbiamo visto che per calcolare la probabilità che una variabile casuale normale assuma un valore compreso in un certo intervallo occorre svolgere un integrale. Essendo tale calcolo non certo facile e, soprattutto, alla portata di chiunque (è necessario aver studiato l'analisi infinitesimale), sono state redatte opportune tavole la cui consultazione conduce alla determinazione della probabilità cercata.
Queste tavole, che consentono di aggirare il calcolo, sono però riferite ad una curva normale standardizzata; indipendente, cioè, dalla sua unità di misura.
Oltre alla tabulazione dei valori di probabilità, la curva normale standard ha un ulteriore vantaggio: consente di fare un confronto immediato tra distribuzioni diverse. E non è poco! Anzi, è proprio una delle finalità dell'indagine statistica, quella di confrontare fenomeni diversi (che, in questo caso, distribuiscono in modo normale).

Definiamo la curva normale standard

E' quella particolare distribuzione normale con media eguale a zero e deviazione standard unitaria. Per trasformare una variabile normale non standard in una normale standard è necessario applicare una formula di trasformazione. Siano:

: la variabile normale non standard
: il suo valor medio
: la sua deviazione standard
: la variabile normale standard

la formula di trasformazione è la seguente:



che conduce alla funzione di una variabile normale standardizzata:



(senza perdersi troppo nei calcoli è sufficiente, per passare dalla funzione di una variabile normale non standard a quella standard, sostituire zero al valor medio ed uno alla deviazione standard; provate, per esercizio, a fare queste posizioni nella funzione di probabilità di una variabile aleatoria normale vista nel post delle 21:58 del 4 giugno).

Osservazioni sulla normale standard

Come è facile osservare la nuova variabile, z, è adimensionale. Ciò in quanto è definita da un rapporto tra grandezze omogenee. Ciò significa che è un numero puro e dovrà essere vista in unità di deviazioni standard.
Cerco di spiegarmi con un esempio. Se ci chiediamo qual'è la probabilità che la variabile standardizzata assuma un valore compreso tra 1 e -1, significa, in altri termini, che ci stiamo chiedendo qual'è la probabilità che la x assuma un valore all'interno dell'intervallo definito dai due estremi:



e



Vediamo ancor meglio quest'ultima affermazione. Se trasformiamo tale variabile nella forma standard avremo un valor medio eguale a zero. Infatti, quanto vale z in corrispondenza di

?

Sostituendo, si ottiene:



E quanto vale z in corrispondenza di ?

Sostituendo, si ottiene:



E, analogamente, per , si trova:



Quindi, per rispondere alla domanda:

qual'è la probabilità che la x assuma un valore all'interno dell'intervallo definito dai due estremi:



e

?

E' sufficiente trasformare la variabile x nella corrispondente forma standard, consultare le tavole cercando la probabilità che z assuma un valore compreso tra -1 e 1.

Un esempio

Cerchiamo di comprendere l'utilità della distribuzione normale standard con un esempio. Supponiamo che uno studente di Fisica, dell'Università di Roma "La Sapienza", sostenga presso la sua sede l'esame di struttura della materia conseguendo la votazione di 27/30. E' noto, inoltre, che la media delle valutazioni di tutti gli esami in struttura della materia sostenuti nella medesima sessione è 22.45 e che la deviazione standard è pari a 2.15.
Lo stesso studente, successivamente, si reca presso l'Università di Cambridge per seguire un corso sulla teoria del caos. In quella sede, al termine del corso, sostiene l'esame con una valutazione di 84/100. E, anche in questo caso, è noto che la media delle valutazioni di tutti gli esami in teoria del caos sostenuti nella medesima sessione è 69.7/100 e che la deviazione standard è pari a 5.25. La domanda che ci poniamo è la seguente: quale delle due valutazioni è relativamente più alta? O, in altri termini, in quale esame la prestazione dello studente si è allontanata maggiormente dalla media?

Senza l'ausilio dell'analisi delle rispettive distribuzioni in forma standard non è facile dare subito una risposta. Con questo tipo di analisi, invece, diventa un gioco da ragazzi. Che cosa dobbiamo fare? Calcolare i due valori standardizzati delle due prestazioni:





La conclusione è che questo studente ha rivelato una prestazione - relativamente - più elevata nel corso di teoria del caos: ciò in quanto si è allontanato dalla media di una quantità maggiore rispetto al primo caso.