La volatilità

Uso delle tavole (1)

Ed ora facciamo la conoscenza di queste famigerate tavole che riportano i valori di probabilità della normale standard.

In rete se ne trovano di diversi tipi. Comunque, quando se ne è capita la costruzione, non si dovrebbero avere difficoltà di interpretazione. Ad esempio, quella qui riportata tabula i valori della probabilità per valori di z positivi.

NormStd1.png

Generalmente si usa esprimere z con due decimali. E così, nella prima colonna si trova il valore di z con un decimale. Nella prima riga, invece, troviamo il secondo decimale di z. All'incrocio tra la riga e la colonna, così individuate, troveremo il valore dell'area sottesa dalla curva normale standard (tra il valore cercato di z e z=0). Ad esempio, se si vuole conoscere la probabilità che z sia compreso tra zero e 1.18 si dovrà operare in questo modo:

- si scorre la prima colonna fino a trovare il valore 1.1;
- si scorre la prima riga fino ad incontrare il valore 0.08;
- si incrociano la riga e la colonna così trovate e, in questo caso, si trova - all'incrocio - 0.3810.

Ciò vuol dire che la probabilità che z assuma un valore maggiore di zero ed inferiore ad 1.18 è del 38.1%.

Uso delle tavole (2)

Oppure, possiamo trovare tavole del tipo di quella illustrata in figura (tratta dal materiale didattico messo a disposizione degli studenti di economia per un corso di statistica dell'Università di Bologna).

NormStd2.png

Qui, invece, i valori tabulati rispondono alla domanda:

qual'è la probabilità che la variabile z assuma un valore compreso tra -∞ ed un valore positivo?

Vediamone un'applicazione con un esempio. Supponiamo che si voglia conoscere tale probabilità se z=0.53. Procederemo come per l'altro esempio. Sulla prima colonna andremo a trovare il valore 0.5 e sulla prima riga il valore 0.03. Cosa troviamo all'incrocio? 0.7019, Ovvero, il 70.19%.

Naturalmente, mostriamo che le due tavole sono in qualche modo equivalenti.

Supponiamo, ad esempio, di voler rispondere alla medesima domanda che ci siamo posti per mostrare l'uso della prima tavola. Ovvero: qual'è la probabilità che z sia compreso tra zero e 1.18?
Usando la seconda tavola troviamo: 0.8810. Ma questa rappresenta la probabilità che z assuma un valore compreso tra -∞ e 1.18. Dobbiamo allora sottrarre la probabilità che z assuma un valore compreso tra -∞ e zero. Ma questa, sempre usando la medesima tavola, corrisponde a 0.5. Facciamo la differenza:



che è proprio il valore trovato in precedenza con la prima tavola.

Intervalli notevoli

Prima di chiudere la parentesi che ho dovuto necessariamente aprire sulla curva gaussiana chiediamoci:

qual è la probabilità che la variabile standardizzata assuma un valore compreso tra -1 e +1?
O, in altri termini,
qual è la probabilità che la variabile casuale si presenti con un valore compreso in un intervallo di due deviazioni standard e centrato sul valor medio?

Esercizio1.png

Facciamo riferimento alla prima tabella. Cerchiamo il valore z=1 e (all'incrocio tra 1.0 e 0.00) leggiamo: 0.3413. Ricordiamoci che tale valore rappresenta la probabilità che z cada nell'intervallo compreso tra 0 e 1. Dal momento che la curva è simmetrica, per rispondere alla domanda posta dobbiamo moltiplicare per due. Otteniamo: 0.6826. Ovvero, il 68.26%. Provate, per esercizio, a rispondere alla stessa domanda usando la seconda tavola. Procedendo in modo corretto si dovrà trovare lo stesso valore.

Quindi, la probabilità che una variabile casuale, che distribuisce in modo normale, assuma un valore che dista una deviazione standard dalla media - sia a destra che a sinistra - è pari al 68.26%.

Ed ora provate, per esercizio, a rispondere alle seguenti due domande:

1. qual è la probabilità che la variabile standardizzata assuma un valore compreso tra -2 e +2?
O, in altri termini,
qual è la probabilità che la variabile casuale si presenti con un valore compreso in un intervallo di quattro deviazioni standard e centrato sul valor medio?

2. Qual è la probabilità che la variabile standardizzata assuma un valore compreso tra -3 e +3?
O, in altri termini,
qual è la probabilità che la variabile casuale si presenti con un valore compreso in un intervallo di sei deviazioni standard e centrato sul valor medio?

Un esempio





La conclusione è che questo studente ha rivelato una prestazione - relativamente - più elevata nel corso di teoria del caos: ciò in quanto si è allontanato dalla media di una quantità maggiore rispetto al primo caso.

Se fossero variabili due sottostanti anzichè voti oppure i return di sottostanti ben correlati, è corretto pensare che z_2 essendo il più lontano tra le due variabili dalla propria media sarà anche quello che si muoverà di più per tornare verso la media ?

Un esempio





La conclusione è che questo studente ha rivelato una prestazione - relativamente - più elevata nel corso di teoria del caos: ciò in quanto si è allontanato dalla media di una quantità maggiore rispetto al primo caso.

Se fossero variabili due sottostanti anzichè voti oppure i return di sottostanti ben correlati, è corretto pensare che z_2 essendo il più lontano tra le due variabili dalla propria media sarà anche quello che si muoverà di più per tornare verso la media ?

Salve abc. La risposta è affermativa, naturalmente con tutte le dovute ipotesi di cautela al contorno. La più forte - e necessaria - è proprio quella a cui fai riferimento tu: la correlazione. E' altrettanto vero, però, che l'intensità del grado di correlazione tra i due sottostanti non solo deve essere forte ma, soprattutto, tale forza deve essere destinata a perdurare nel tempo. Il problema dello spread trading (o pair trading, come altrimenti indicato) è proprio questo. In genere si ricercano sottostanti che mostrino, nel tempo, deviazione standard e media tendenzialmente costanti (al fine di poter procedere al processo di cointegrazione). Ma qui il discorso comincia ad esulare dal focus di questo thread incentrato, invece, sulla volatilità.
Comunque, in rete, di materiale per approfondire ce n'è. Un piccolo assaggio, su questo forum, lo si può intanto avere qui:

viewtopic.php?f=13&t=133

Ed ora una chicca per chi è appassionato e/o per chi vuole capire

Come ricorderanno i più attenti, abbiamo detto che la probabilità che la variabile z appartenga ad un certo intervallo è calcolabile con quell'integrale. Quindi, per fare un esempio, se noi volessimo calcolare la probabilità che z sia compresa tra zero ed 1 (la prima deviazione standard), dovremmo calcolare l'integrale:



Ora, da un punto di vista geometrico, l'integrale definito di una funzione calcola l'area sottesa da quella curva tra i due estremi indicati. A prescindere da come si debba risolvere questo integrale, non è questa la sede opportuna, cerchiamo di stimare quell'area (in figura indicata con la zona tratteggiata in rosso).

Esercizio2.png

Se la osserviamo con attenzione si tratta di una figura geometrica che assomiglia ad un trapezio rettangolo. Dalla geometria piana sappiamo che 'l'area di una tale figura si calcola sommando le due basi (la maggiore e la minore), moltiplicando tale somma per l'altezza e dividendo il tutto per due. In formula:



La base maggiore (B) e la base minore (b) corrispondono ai valori che la funzione:



assume, rispettivamente, in 0 ed in 1.

Calcoliamo tali valori:





ed ora l'area (attenzione, l'altezza vale 1):



Come si può notare, è stato ottenuto un valore molto simile a quello della tabella (0.341).

Interessante, vero? Spero!

Modello per il calcolo teorico di un'opzione: il ruolo della media

Ed ora riprendiamo con le nostre considerazioni sulla volatilità. Supponiamo di voler impiegare il modello della gaussiana per descrivere il movimento dei prezzi di un sottostante (è ciò che viene ipotizzato nella formula di Black&Scholes&Merton (B&S) per la valutazione del prezzo di un'opzione). Sappiamo, ora, che una curva normale è completamente definita quando si conoscono media e deviazione standard. Sappiamo che la media è il valore che assume la variabile casuale in corrispondenza del picco della normale. E sappiamo anche che la deviazione standard ci fornisce informazioni sulla forma della campana: più è spanciata e maggiore è la deviazione standard; più è appuntita e minore è il valore della deviazione standard.
Partiamo dal valor medio. Qual è il valor medio che dobbiamo inserire nella formula della normale? Supponiamo di acquistare un determinato sottostante a 100 euro (per esempio un'azione) e di mantenerlo nel nostro portafoglio per tre mesi. Qual è il prezzo corretto che dovrà avere dopo tre mesi questo sottostante? Dal momento che per effettuare l'acquisto abbiamo dovuto spendere 100 euro, dovremo calcolare il costo finanziario per il periodo considerato. Supponiamo che il tasso di finanziamento sia del 2%. Per tre mesi, allora, avremo:

100 * 2%/4 = 0.5 euro

Allora, dopo tre mesi, il valore equo del sottostante sarà:

100.5 euro.

E se questo titolo, nel periodo preso in considerazione, dovesse pagare il dividendo di 1 euro? Allora dovremo decurtare tale somma ed avremo:

100.5 - 1 = 99.5

Proviamo a convincercene. La posizione detenuta da un trader che ha acquistato questo titolo a 100 euro ed ha incassato 1 euro di dividendo deve essere equivalente a quella di chi non ha effettuato tale acquisto. Allora, chi non ha effettuato l'acquisto ha beneficiato solo del tasso di interesse del 2% e, quindi, dopo tre mesi si ritrova con la somma di:

100.5 euro.

Chi, invece, ha effettuato l'acquisto, si ritrova con il titolo ed 1 euro di dividendo. Affinché tale posizione sia equivalente a quella di chi non ha effettuato l'acquisto il titolo dovrà valere:

S = 100.5 - 1 = 99.5 euro

spero sia chiaro.

E questi sono i primi elementi per poter cominciare a comprendere il modello di B&S per la determinazione del prezzo corretto di un'opzione.

Modello per il calcolo teorico di un'opzione: il ruolo della deviazione standard (1)

Per la completa descrizione di una curva gaussiana, oltre alla media, necessitiamo della deviazione standard. Che cosa rappresenta, nel nostro modello, la deviazione standard? E' proprio la volatilità. Eccone la definizione:

la volatilità di un sottostante corrisponde alla deviazione standard dei rendimenti percentuali assunti da tale sottostante ed annualizzati.

In realtà, quando la discuteremo meglio illustrandone la modalità di calcolo, faremo una leggera modifica a questa definizione. Ma non anticipiamo. Per il momento accontentiamoci di questa.

Facciamo un esempio. Supponiamo che il sottostante di un contratto future valga 100 ed abbia una volatilità del 28%. Che cosa significa? Vuol dire che vi è una probabilità del 68% circa (ricordate le considerazioni sulla curva gaussiana?) che, dopo un anno, tale sottostante abbia un valore compreso tra 72 e 128. Infatti:



e



Vuol dire, inoltre, che vi è una probabilità del 95% circa che, dopo un anno, il valore del sottostante sia compreso tra 44 e 156; infatti:



e




E, ancora, che vi è una probabilità del 99.7% circa che, dopo un anno, tale sottostante abbia un valore compreso tra 16 e 184; ciò in quanto:



e

Modello per il calcolo teorico di un'opzione: il ruolo della deviazione standard (2)

In realtà le cose non stanno esattamente così. Il valor medio, come discusso in precedenza, corrisponde al prezzo che avrà il sottostante al termine del periodo considerato dopo aver contabilizzato l'eventuale dividendo percepito ed il costo finanziario. Per cui, con una volatilità del 28%, un tasso di finanziamento del 2% e nessun dividendo avremo che, dopo un anno, si avrà la probabilità:

- del 68% che il prezzo del sottostante sia compreso tra 73.44 e 130.56 ();

- del 95% che il prezzo del sottostante sia compreso tra 44.88 e 159.12 ();

- del 99.7% che il prezzo del sottostante sia compreso tra 16.32 e 187.68 ().

Ed ora facciamo un'ipotesi. Supponiamo, che dopo un anno, nell'esempio che stiamo portando avanti, il prezzo del nostro sottostante quoti 15. Come può essere? Il valore della deviazione standard usato per il calcolo degli intervalli associati a ciascuna delle tre probabilità era errato?

Il prezzo si è mosso, in effetti, di oltre tre deviazioni standard. Certo, si tratta di un evento molto raro al quale è associata una probabilità inferiore allo 0.3% circa. Ma, attenzione, non dobbiamo confondere poco probabile con impossibile!

Le distribuzioni lognormali

E' ragionevole assumere che le variazioni percentuali di un'attività finanziaria (che sia sottostante di prodotti derivati o meno) si possano distribuire in modo normale? Per rispondere a questa domanda dobbiamo affrontare due questioni.

La prima è quella relativa al particolare tipo di distribuzione. La distribuzione gaussiana non è l'unica possibile: in letteratura ve ne sono molte altre, dalla binomiale a quella di Poisson (anche dette notevoli, in quanto capaci di rappresentare una grande moltitudine di fenomeni), solo per fare qualche esempio.
Vi sono poi fenomeni la cui distribuzione non è nemmeno matematizzabile. In sostanza non è possibile individuare un modello matematico (un'equazione) che sia in grado di rappresentarne la funzione di probabilità. Ora, nel mondo reale (come spesso si dice) in quale modo si distribuiscono i prezzi di un'attività finanziaria?

Ma vi è un altra questione. La distribuzione normale ha un serio difetto quando la eleggiamo quale legge di distribuzione dei prezzi di un'attività finanziaria. Cerchiamo di capirlo con un esempio. Supponiamo di acquistare a 50 euro una certa azione. Se noi ammettiamo che questa, nel tempo, possa più che raddoppiare, salendo, ad esempio, di 60 euro (è ovviamente del tutto lecito), della stessa quantità dovrà essere possibile che essa possa scendere. E ciò in quanto la distribuzione gaussiana è simmetrica. Ma un'azione non può assumere valori negativi: dovrebbe, nell'esempio appena fatto, poter quotare -10 euro!

Ecco, basta quest'ultima, tra le due argomentazioni indicate, a rendere del tutto inappropriata la distribuzione gaussiana quale legge di distribuzione dei prezzi di un'attività finanziaria. E allora, come possiamo ovviare a tutto ciò?