Put-Call parity

Vorrei mettere a disposizione della comunità alcune considerazioni su questa nota formula e, in particolare, sulle implicazioni che da essa derivano. Più in particolare, mi riferisco all'impatto che hanno i dividendi nella gestione di un portafoglio di opzioni. Impatto che, quando si è abituati a lavorare su opzioni e future il cui sottostante è un indice che non paga dividendi, può creare molti problemi alla gestione delle strategie che abbiamo in essere e ...
... conseguenti mal di pancia!

La formula

Nel caso in cui il sottostante sia costituito da un titolo (o indice) che non paga dividendi vi è un'importante formula che lega il prezzo di una call e quello di una put. E' la put-call parity.

E' una formula ben nota al market maker in quanto, se non rispettata, consente di effettuare arbitraggi.

Se indichiamo con:
, il prezzo di una call ad una data scadenza e riferita allo strike
, il prezzo di una put alla medesima scadenza e riferita al medesimo strike
, il tasso di interesse privo di rischio (risk free rate)
, il valore del sottostante all'istante 0, possiamo scrivere:



che è, appunto, la put-call parity.

Questa formula ci consente, note tutte le variabili tranne una, di determinare proprio quella mancante (o incognita).

La formula

Vediamo come deve essere considerata ciascuna delle variabili che compaiono nella formula.

Il sottostante
Corrisponde al valore battuto dal mercato all'istante t=0, ovvero all'istante in cui vogliamo conoscere il valore di una delle altre variabili coinvolte e conosciamo il valore di tutte le altre.

I prezzi della call e della put
Qui cominciano le difficoltà (si fa per dire, che nessuni si spaventi ). Difficoltà in quanto il valore di una call, ed anche di una put, è noto nelle due esposizioni del mm (market maker): il denaro (o bid) e la lettera (o ask). Quale dei due valori dobbiamo inserire nella formula? Nessuno dei due. Inseriremo, semplicemente, la media aritmetica (o midpoint) tra essi. Ovvero, per la call:



e per la put:



Lo strike
Anche noto come prezzo di esercizio è il parametro che meno crea difficoltà. Lo vedremo poi in un esempio.

Il parametro T, o scadenza
Rappresenta il tempo di vita dell'opzione che stiamo considerando. Va sempre espresso in percentuale decimale d'anno. Ad esempio, se consideriamo un'opzione che ha un tempo di vita di 3 mesi avremo:



Vediamo un altro esempio. Nel momento in cui scrivo la scadenza più vicina delle opzioni è aprile 2012. In particolare venerdì 20 aprile 2012. Oggi è 16 aprile. Pertanto mancano 5 giorni (qui i puristi - pignoli - diranno che se siamo vicino all'orario di chiusura, per esempio le 16:30, sarebbe preferibile indicare 4 giorni).
Allora avremo:



Il tasso di interesse privo di rischio
E' anche detto risk free rate o opportunity cost e, nel caso delle opzioni e dei future espressi in valuta euro, si usa il tasso Libor (London Interbank Offered Rate) sei mesi lettera.

E' un tasso variabile, calcolato dalla British Bankers' Association in base ai tassi d'interesse richiesti per cedere a prestito depositi in una data moneta da parte delle principali banche del mercato londinese. E' il tasso di riferimento europeo al quale le banche si prestano denaro tra loro.

Lo si può trovare, ad esempio, anche qui:
http://www.emilbanca.it/portal/page?_pa ... _tasso=LE6

L'ultima rilevazione disponibile è 1.102%. Nella formula va indicato non in percentuale ma in decimale. Nell'esempio dell'ultima rilevazione avremo:

Un esempio

Consideriamo l'indice DJ Euro Stoxx 50 e proviamo ad applicare la formula della put-call parity allo strike 2325, scadenza aprile 2012, sulla base dei prezzi rilevati alle ore 15:00 circa.

Tali prezzi sono:





Calcoliamone le medie:




Supponiamo che la nostra incognita sia il sottostante. Allora, dalla:



otteniamo:



che, invertendo i membri, diviene:



sostituendo i valori indicati in precedenza:



Se andiamo a leggere il valore del sottostante, però, troviamo: 2318.52. A che cosa è dovuta questa discrepanza?

L'impatto dei dividendi

Si tratta dei famigerati dividendi. Famigerati in quanto, se il trader non ne tiene conto e guarda l'indice così come viene riportato dal collegamento al mercato, commetterà errori anche gravi.

Se, infatti, calcolerà la volatilità implicita e le greche immettendo, nelle formule, il valore del sottostante non corretto, si ritroverà con dati errati.

E quindi, per esempio, si troverà a comprare una put con un determinato delta (magari per coprire una posizione in sofferenza) ed invece acquisterà una put con un delta diverso (che magari copre di meno, oppure copre troppo!). Quindi, è bene fare attenzione.

Un esempio con excel

Vediamo, con l'aiuto di excel, di osservare la variabilità della volatilità implicita e di una greca come il delta al variare del riferimento del sottostante: corretto con i dividendi e non corretto.

Innanzitutto immettiamo i dati generali:

OpzioniStoxx.png

la data di oggi, quella della scadenza, la differenza tra tali date rapportate alla durata - in giorni - di un anno, il tasso (libor sei mesi lettera).

In cella C6, inoltre, è stato evidenziato il calcolo del fattore esponenziale,

Si noti, a questo proposito, che tale fattore è praticamente pari ad 1: ciò a ausa dei tassi particolarmente bassi di questo periodo. Pertanto, a questo livello di tassi, la formula per la call-put parity, può ragionevolmente scriversi:



Nel foglio, però, è stato considerato anche l'effetto di tale fattore (per maggior precisione).

A confronto il delta e la volatilità implicita

Eseguiamo il calcolo del delta e della VI imponendo, nella formula, il valore del sottostante corretto. Otteniamo:

OpzioniStoxx_1.png

Se, invece, immettiamo nelle formule il valore del sottostante che non tiene conto della correzione dovuta ai dividendi, si ottiene:

OpzioniStoxx_2.png

Come si vede i valori della volatilità implicita, ma anche del delta, risultano diversi. Sulla VI, ad esempio, ci sono due punti percentuali di differenza, che non sono poco!

La formula esatta è:

R11=B11*C6+E11-M11

quella approssimata, dato il livello attuale dei tassi di interesse particolarmente basso, è:

R11=B11+E11-M11

La formula esatta è:

R11=B11*C6+E11-M11

quella approssimata, dato il livello attuale dei tassi di interesse particolarmente basso, è:

R11=B11+E11-M11

GRAZIE ;-)

MAuro25-04-2012 15-06-56.png

Bravo Light, vedo che il concetto ti è chiaro.

Interessantissimo grazie MAURO