La volatilità

la + chiara spiegazione sui logrendimenti che si trova in giro
avanti così!

Ti ringrazio Umberto; però, così, mi fai ...
... arrossire!

La volatilità storica dell'indice EuroStoxx50 (1)

Ed ora, come promesso, cerchiamo - con un esempio - di costruirci la volatilità storica (VS) di un determinato sottostante. Prendiamo a mo' di esempio l'indice DJ EuroStoxx 50: un indice che, per quanto mi è dato di sapere, è ben apprezzato da molti opzionisti.

Innanzitutto scegliamo il periodo: stabiliamo, per le considerazioni svolte in precedenza, n=21.

Ed ora il foglio excel che contiene la serie storica di questo indice; è lunga una decina di anni, circa (dal 4 gennaio 2002 ad oggi). E' il foglio a partire dal quale costruiremo la nostra VS. Eccolo qui.

VS_EuroStoxx50.xls

La volatilità storica dell'indice EuroStoxx50 (2)

Ed ora, come prima operazione, calcoliamo il rendimento logaritmico giornaliero. Quella grandezza che abbiamo indicato con ui. Per chi non ricordasse la formula ricordo che occorre calcolare il logaritmo naturale del rapporto tra il prezzo di chiusura odierno e quello del giorno precedente.

Vediamo come fare con excel.

VS_fig1.png

Trasciniamo quindi la formula in verticale verso il basso per avere il rendimento giornaliero dei giorni successivi.

Ora che abbiamo almeno 21 rilevazioni possiamo procedere con il calcolo della media aritmetica di queste 21 osservazioni. Usiamo la funzione che excel mette a disposizione per questa funzione.

VS_fig2.png

Quindi calcoliamo lo scarto tra la generica osservazione e la media appena calcolata. Ricordiamoci di usare il riferimento assoluto, per la media, in modo tale che poi, nel trascinamento della cella per la copia automatica della formula nelle celle successive, cambi solo il riferimento alla cella dell'osservazione e non quello che punta alla media.
Vediamo.

VS_fig3.png

Aggiungiamo il quadrato dello scarto (ricordate di tenere bene a mente la formula della stima della deviazione standard, quella che abbiamo indicato con s).

VS_fig4.png

Ed ora non resta che sommare i 21 quadrati degli scarti, dividere per 20 (n-1, ricordate?) ed estrarne la radice quadrata.
Vediamo con excel.

VS_fig5.png

Ed ecco la stima della deviazione standard a 21 gg.

La volatilità storica dell'indice EuroStoxx50 (3)

Naturalmente, come molti di voi sicuramente già sapranno, con excel è possibile calcolare la deviazione standard di un campione senza la necessità di fare tutti quei passaggi che abbiamo fatto prima. Passaggi che, personalmente, ritengo che (almeno una volta nella vita!) occorre fare per capire meglio ed aver maggior consapevolezza di quel che si sta facendo.

Ecco la funzione usata da excel.

VS_fig6.png

Che, come si può notare, coincide perfettamente con il valore che abbiamo trovato noi in precedenza.

E allora, nella versione definitiva del foglio che stiamo costruendo, eviteremo tutti i passaggi e metteremo direttamente la formula finale.

Eccolo.

VS_fig7.png

Ed ecco il foglio aggiornato.

La volatilità storica dell'indice EuroStoxx50 (4)

Ora, per calcolare la volatilità con la:



dobbiamo conoscere . Esso corrisponde al periodo di un giorno espresso su base annua. Dal momento che un anno è convenzionalmente posto pari a 252 giorni di borsa aperta avremo:



e quindi:



Ora, per fare un esempio di calcolo, prendiamo il valore di s al giorno 4 febbraio 2002: 0,013711179.

Calcoliamo il valore di :



La volatilità viene solitamente espressa in percentuale.

Vediamolo con excel:

VS_fig8.png

Quale loopback per il calcolo della volatilità? (1)

Nell'esempio fatto in precedenza abbiamo usato, per il calcolo della volatilità storica, un numero di osservazioni giornaliere pari a 21. Si tratta del cosiddetto loopback. Ma qual è il loopback più indicato? In realtà, come il lettore più avveduto già saprà, non esiste una risposta univoca a questa domanda. Si tratta di capire qual è l'uso che vogliamo fare di questo indicatore.

E qui si apre una domanda ancor più ampia: ma a che cosa serve questo indicatore?

Quale loopback per il calcolo della volatilità? (2)

Da alcuni viene impiegato per determinare se un'opzione è troppo cara oppure se è, in quel dato momento, conveniente. Come?
Confrontando il valore dell'indicatore in modo diacronico con sé stesso: in sostanza si esamina l'andamento nel tempo del medesimo e, nelle fasi in cui questo è alto, si tenderà ad essere più venditori che compratori e viceversa.
Oppure lo si esamina in modo sincronico con un altro indicatore, quello della volatilità implicita, del quale discuteremo meglio più avanti.
Così facendo si possono raggiungere due risultati:
- comprare/vendere nei momenti più opportuni le opzioni che ci necessitano per mettere in piedi una determinata strategia;
- controllare strategie in opzioni interamente volte alla massimizzazione/minimizzazione della volatilità (si tratta di strategie - anche dette di vega - per trader molto esperti).

Quale loopback per il calcolo della volatilità? (3)

Un altro uso che i trader fanno della volatilità è quello di rivelatore di trend. Si è potuto constatare, infatti, che l'andamento del sottostante è (generalmente) inversamente correlato all'andamento della volatilità: in periodi di volatilità decrescente si avranno trend crescenti del relativo sottostante e viceversa. Si tratta, quindi, di un indicatore ancillare di ausilio all'analisi che quotidianamente il trader effettua per determinare il trend del sottostante.

Quale loopback per il calcolo della volatilità? (4)

Infine, ma non certo per importanza, l'analisi di questo indicatore si rivela fondamentale per quei trader che operano direttamente sulla volatilità. E' già da molto tempo, infatti, che è possibile operare direttamente su strumenti derivati - opzioni e future - che hanno come sottostante la volatilità di un altro sottostante. Il Vix, ad esempio, è un indice che misura la volatilità (di breve termine) dell'S&P500, è quotato al CBOE, ed è stato introdotto nel 1993.
Anche in Europa, presso l'Eurex, è possibile operare su indici analoghi: il VStoxx ed il VDax.

Sopra o sotto il fair value?

Vediamo un esempio di come si posa utilizzare la VS (volatilità storica) per capire se il prezzo di un'opzione è alto o basso.

Supponiamo che il nostro orizzonte temporale coincida con il mese. Siamo, cioè, opzionisti che imbastiscono le proprie strategie che hanno una durata, in media, di un mese borsistico (circa 21 giorni di sessioni giornaliere di trading). Fisseremo allora il nostro loopback a 21.

Nella figura immediatamente successiva ho riportato il grafico della VS a 21 giorni - curva di colore fucsia - inerente il sottostante EuroStoxx 50 - curva di colore bleu -.

VS_fig9.png

La riga verticale divide il periodo temporale all'interno del quale varia l'ascissa (il tempo, nel nostro caso) in due parti circa eguali e di un anno ciascuna. L'idea è la seguente: il primo periodo, da luglio 2010 a luglio 2011, svolge la funzione di indicatore dei periodi di bassa ed alta volatilità. Si tratta del periodo di test. Le zone indicate con A1, A2 ed A3, corrispondenti ad una VS variabile tra l'11% ed il 14% circa, costituiscono delle potenziali aree di acquisto. Al contrario, le zone indicate con V1, V2 e V3, costituiscono zone di potenziale vendita e rappresentano valori di VS variabili, all'incirca, tra il 20% ed il 24%.
Il secondo periodo, invece, quello a destra della riga verticale, costituisce il periodo di trading. E' un periodo di tempo che dobbiamo immaginare non conosciuto (anche se, in questo momento, è invece visibile ai nostri occhi!). Chi si occupa di backtesting di trading system certamente non avrà difficoltà a seguire il ragionamento.

Attenzione! Quando affermo zone di vendita o zone di acquisto non mi riferisco al sottostante ma alle opzioni. In una zona di acquisto sia le opzioni call che le put sono - o, almeno, si presume che siano - sottovalutate. E quello, allora, sarà il momento giusto per acquistarle. Cosa acquistare, poi, ce lo dovranno dire altri indicatori: quegli indicatori che si prefiggono lo scopo di prevedere la direzione del sottostante.

Che cosa è successo nel secondo periodo, quello di trading? Che nella zona A5, un minimo relativo della funzione VS, avremmo acquistato bene. Non altrettanto bene, invece, avremmo venduto nelle zone V4 e V5. Al lettore attento non sarà sfuggito, evidentemente, che la zona V4 è all'interno del periodo che ha accompagnato l'ultima crisi dei mercati: quella del secondo semestre 2011. Periodo in cui la volatilità si è impennata raggiungendo valori molto alti: attorno al 50%.

Concludo questo esempio ricordando che esistono anche altri metodi per individuare zone di bassa ed alta volatilità relativa. Si tratta di metodi di derivazione statistica o basati sull'analisi tecnica.
Forse avrò modo di approfondirli in una prossima pubblicazione.