Gioco Equo - Option Club

Speranza Matematica o Valore atteso

Il concetto più importante allorché si vogliono prendere delle decisioni razionali sulla convenienza o meno di partecipare sistematicamente a un dato gioco, e’ sicuramente quello della speranza matematica o valore atteso.

Motiviamo l’utilità’ di tale concetto attraverso il classico esempio della moneta.

Supponiamo di dover decidere di partecipare ad un gioco in cui viene lanciata in aria per due volte di seguito una moneta “perfetta” e le cui vincite offerte dal gestore del gioco sono le seguenti:

• due teste consecutive - si vincono 2 €
  

• due croci consecutivi - si vincono 3 €
  

• una testa e una croce - si perdono 4 €
  

E’ conveniente giocare? E, se decidessimo di scommettere, quanto ci aspetteremmo di vincere o perdere mediamente protraendo il gioco?

Per rispondere a questi due quesiti, dobbiamo anzitutto conoscere il numero dei casi possibili.
Sappiamo dall’esempio precedente che essi sono esattamente quattro:

Per inciso, questo schema prende il nome di diagramma ad albero (così chiamato a causa della sua struttura ramificata) e serve per enumerare tutti i possibili esiti di una serie di esperimenti, ciascuno dei quali può avere solo un numero finito di esiti.

Quindi – mediamente – giocando quattro partite, noi otterremo: “due teste” una volta, “due croci ancora una vota e “una testa e una croce” due volte.

In queste quattro partite il nostro guadagno effettivo sarà:

Calcoliamo la speranza matematica:

Supponiamo di scommettere 1€ per un certo numero di colpi su un singolo numero ad una roulette francese che cosa dovremmo aspettarci in media?

Ricordiamo prima brevemente le regole della roulette francese. Su una ruota sono disposti i numeri da 1 a 36, metà rossi e metà neri, con in più lo 0.
Gli stessi numeri sono riportati su un tappeto verde - allineati su tre colonne - dove sono indicate tra l'altro alcune delle scommesse possibili:

• Il Numero in pieno è pagato 35 volte la posta + la posta;
  

• Il Cavallo (2 numeri), 17 volte + la posta;
  

• La Terzina (3 numeri), 11 volte + la posta;
  

• Il Carré (4 numeri), 8 volte + la posta;
  

• La Sestina (6 numeri), 5 volte + la posta;
  

• La Dozzina (12 numeri), 2 volte + la posta;
  

• La Colonna (12 numeri), 2 volte + la posta;
  

• Chances semplici (Rosso - Nero - Pari - Dispari - Manque – Passe, 18 numeri) pagati alla pari, cioè 1 volta la posta + la posta.
  

Come si vede la vincita Q è data dal rapporto tra 36 e la quantità di numeri coperti dalla puntata.
Per esempio, per un numero in pieno Q = 36, per la dozzina Q = 3, per le puntate sulle chances semplici Q = 2.

Se esce lo zero, le puntate effettuate sulle chances semplici vengono congelate e restituite se al turno successivo esce quanto puntato; oppure possono essere direttamente divise con il banco. Tutte le altre scommesse sono irrimediabilmente perse tranne – ovviamente – quelle effettuate sullo zero.

Se l'esito è favorevole, ossia se esce il numero puntato, si vincono 36€ (35 volte la posta + la posta puntata), se invece non esce, si perde 1€ (la posta). Inutile dire che la vincita netta è 36-1=35€.

Che cosa succede mediamente? Applicando la formula vista in precedenza abbiamo: