Media, deviazione standard e dintorni

Inserisco qui un mio piccolo contributo su alcuni concetti di statistica che dovrebbero essere noti a qualunque trader in opzioni che desideri svolgere quest'attività con piena consapevolezza.
Concetti che, come vedremo in un altro thread, risultano estremamente utili per comprendere aspetti molto importanti - nella nostra attività - come quello, ad esempio, della volatilità implicita.

Mi rendo conto che per tutti quelli che possiedono conoscenze esclusivamente riferibili agli studi di scuola secondaria superiore, o a quelli accademici nell'ambito di settori non di tipo tecnico-scientifici (umanistici, giuridici, ecc.), le conoscenze della statistica (ma anche del calcolo delle probabilità) non siano certamente tra queste.

Ciò, naturalmente, non è dovuto alle fatiche che tali studi comportano e che da "buoni studenti" - a suo tempo - si è voluto cercare di evitare. Tra i mali della scuola italiana, mi corre l'obbligo di dire, vi è anche questo, purtroppo: consegnare agli studenti una realtà esclusivamente di tipo deterministico (F=ma, per fare un esempio) "ignorando", invece, che la realtà nella quale viviamo è tutto tranne che deterministica. E' una realtà stocastica e, tanto per rimanere nell'ambito della fisica, una realtà che quando vuole indagare il micromondo atomico deve dotarsi degli strumenti della meccanica quantistica (che è una meccanica probabilistica) abbandonando quella più nota e longeva: la meccanica newtoniana (comunque valida, per l'indagine dei fenomeni meccanici del nostro quotidiano, ma solo in "prima approssimazione").
Ma tant'è! La mia speranza è che, quanto prima, i nostri giovani ricevano queste conoscenze e sviluppino, nel contempo, quelle indispensabili abilità e competenze per l'indagine dell'"incerta" realtà.

Classicamente la statistica viene ripartita in:
a. statistica descrittiva;
b. statistica inferenziale.

Lo scopo della statistica descrittiva è quello di rappresentare i dati osservati di un determinato fenomeno (per esempio l'altezza degli uomini in Italia) mediante grafici e indici. Tra gli indici, appunto, troviamo la media e la deviazione standard, tanto per fare qualche esempio.
Diciamo anche che la statistica descrittiva fotografa una situazione e ne sintetizza le caratteristiche più importanti.

Lo scopo della statistica inferenziale, invece, è quello di fare previsioni di tipo probabilistico su situazioni future incerte a partire dagli stessi dati sui quali lavora la statistica descrittiva e dagli indici elaborati da quest'ultima (inferire vuol dire trarre una conclusione logica sulla base dei dati di cui si dispone).

Negli anni '50, poi, si è aggiunta un'ulteriore branca della statistica la:

c. statistica esplorativa,

dovuta a J.W.Tukey, la quale, a differenza della statistica inferenziale, si pone l'obiettivo di determinare la legge di probabilità che governa il fenomeno in esame (nella statistica inferenziale tale legge è sempre assunta per ipotesi; e spesso è la normale).

Bene, partiamo dalla media. Innanzitutto occorre dire che vi sono diversi tipi di medie: aritmetica, geometrica, armonica, integrale, temporale, ...

E allora? Niente paura, a noi occorre conoscere - almeno in questa prima fase - la media aritmetica. E, diciamo, anche, che quando il sostantivo media non è seguito da nessun aggettivo qualificativo, allora sicuramente stiamo parlando della media aritmetica.

Com'è definita la media aritmetica? Tutti noi, sicuramente, almeno una volta abbiamo avuto a che fare con il calcolo di una media. Sicuramente a scuola, ad esempio, quando volevamo calcolare la media dei voti conseguiti in una determinata disciplina. E come operavamo? Eseguivamo la somma di tutti i voti conseguiti e dividevamo, tale somma, per il numero dei voti medesimi. Giusto?

E allora ecco la definizione.

Classicamente la statistica viene ripartita in:
a. statistica descrittiva;
b. statistica inferenziale.

Lo scopo della statistica descrittiva è quello di rappresentare i dati osservati di un determinato fenomeno (per esempio l'altezza degli uomini in Italia) mediante grafici e indici. Tra gli indici, appunto, troviamo la media e la deviazione standard, tanto per fare qualche esempio.
Diciamo anche che la statistica descrittiva fotografa una situazione e ne sintetizza le caratteristiche più importanti.

Lo scopo della statistica inferenziale, invece, è quello di fare previsioni di tipo probabilistico su situazioni future incerte a partire dagli stessi dati sui quali lavora la statistica descrittiva e dagli indici elaborati da quest'ultima (inferire vuol dire trarre una conclusione logica sulla base dei dati di cui si dispone).

Negli anni '50, poi, si è aggiunta un'ulteriore branca della statistica la:

c. statistica esplorativa,

dovuta a J.W.Tukey, la quale, a differenza della statistica inferenziale, si pone l'obiettivo di determinare la legge di probabilità che governa il fenomeno in esame (nella statistica inferenziale tale legge è sempre assunta per ipotesi; e spesso è la normale).

Bravo Mauro.

Immagino che comincerai con gli indici di posizione.

Se non intralcio il filo logico del tuo discorso credo che interverrò spesso e volentieri.

Credo che una solida base statistica sia più che necessaria per questa attività.

Complimenti anche per la chiarezza espositiva.

E' una scrittura simbolica che può sembrare astrusa. Cerchiamo di spiegarla. Innanzitutto la media viene indicata, generalmente, con la lettera X con una linea sopra di essa.
Quella sorta di "tre rovesciato" (che per chi ha studiato greco riconoscerà come lettera sigma maiuscola) è il simbolo di sommatoria e rappresenta, appunto, una somma di n termini. Si legge in questo modo "sommatoria di xi per i che va da 1 ad n".

In sostanza è una modalità di scrittura che i matematici usano per "comprimerne" una più lunga o, in taluni casi, addirittura infinita.

Lo vediamo nella figura successiva.

Classicamente la statistica viene ripartita in:
...

Bravo Mauro.

Immagino che comincerai con gli indici di posizione.

Se non intralcio il filo logico del tuo discorso credo che interverrò spesso e volentieri.

Credo che una solida base statistica sia più che necessaria per questa attività.

Complimenti anche per la chiarezza espositiva.

Caro Antonio, i tuoi interventi non sono assolutamente un intralcio anzi, sono caldamente desiderati ed auspicati.

Sempre in relazione alla scrittura che stiamo commentando aggiungo che moltiplicare per 1/n, l'espressione tra parentesi tonde, equivale a dividere tale espressione per n .

Supponiamo di voler calcolare la media delle età di:
Alfredo, Arianna, Bruno, Carlo, Lucia e Mario.

persone1.gif

Si tratta di un campione di persone della popolazione italiana. Indichiamo le età di queste sei persone:

Alfredo 26
Arianna 31
Bruno 42
Carlo 12
Lucia 58
Mario 74

Eseguiamo la somma e dividiamo per 6 (in questo caso n=6). Il valore ottenuto - 40.5 anni - rappresenta, quindi, l'età media di questo campione di persone. La sua unità di misura (l'anno, in questo caso), è la medesima di quella delle singole osservazioni.

L'indice che abbiamo appena calcolato è, appunto, una media aritmetica. Occorre però precisare che si tratta di una media campionaria in quanto le età di cui disponevamo non erano quelle dell'intera popolazione ma solo di un campione di questa.

La statistica descrittiva pone molta attenzione a queste differenze e vorrei cercare di spiegarne il perchè. Quando si descrive un fenomeno, nella maggior parte dei casi, si prende in esame un campione di osservazioni e, di questo, se ne calcola - ad esempio - la media. Ma tale media non corrisponde alla media della popolazione: è, appunto, soltanto una media campionaria. E perchè non si procede al calcolo della media della popolazione? Il numero che otterremmo, evidentemente, avrebbe maggior dignità rappresentativa! Non lo si fa per due ragioni:

1. in alcuni casi è troppo oneroso;
2. in altri casi è impossibile.

Se volessimo, ad esempio, misurare l'età media della popolazione femminile italiana dovremmo necessariamente ricorrere ad un censimento: operazione costosa e di non facile praticabilità. Un'operazione che il nostro ISTAT, l'istituto nazionale deputato allo studio statistico dei fenomeni demografici e sociali del nostro paese, fa una volta ogni 10 anni (e lo sta facendo proprio in questi giorni, come certamente saprete!).
Siamo nel primo caso.

Supponiamo di voler testare un trading system (TS). Abbiamo, cioè, individuato un modello di trading specifico che pensiamo possa essere profittevole (ad esempio: compra se la chiusura di oggi è superiore a quella di ieri e se i volumi di oggi sono superiori a quelli di ieri e vendi 5 giorni dopo in apertura). Che cosa facciamo? Prendiamo una serie storica (di due anni e giornaliera, per fissare le idee) del nostro indice FTSE MIB, ad esempio, ed andiamo a verificare quante trades avremmo avuto applicando tali regole.
Supponiamo di ottenere 50 trades (si consideri che una tale serie storica contiene circa 500 dati giornalieri).
Mettiamo da una parte le trades vincenti e da un'altra parte quelle perdenti. Ed otteniamo, per esempio che quelle vincenti sono il 55% del totale. Fermiamoci qui (potremmo poi calcolare la vincita media e la perdita media, il rapporto tra questi due valori, ecc.; tutte operazioni che deve fare chi vuole analizzare in modo professionale un trading system).
Che cosa possiamo inferire circa quel 55%? Abbiamo preso in considerazione un campione di trades o l'intera popolazione delle trades di tale TS? Evidentemente è solo un campione. Qualcuno potrebbe dire: se avessimo l'intera serie storica, dalla nascita di questo indice, potremmo determinare la popolazione delle trades di questo TS. E neanche questo è vero: avremmo sicuramente un campione più rappresentativo ma rimarrebbe un campione. E perchè?