La volatilità

Veramente interessante.

Che bello leggere di nuovo Mauro, io rimango in attesa della sua "lezione " sicuramente interessante.
Grazie per il tempo che dedichi.
Marco

Bene,
mi sembra che un certo interesse ci sia. E allora, quanto prima, daremo il via a questo ciclo di interventi.

Naturalmente colgo anche l'occasione per ringraziare tutti coloro che hanno speso simpatiche parole nei miei confronti. Spero di non deluderli.

E ringrazio anche coloro che, pur non esprimendosi, decideranno comunque di destinare una parte del loro tempo alla lettura di queste pagine: spero le trovino degne di interesse.

A presto.

Quando il tempo è speso per imparare non è mai perso.

sono pronto per imparare nuove cose.


grazie Mauro

saluti Vito

presente
francesco

Realtà e modello

Vorrei iniziare da qui. Qualcuno potrebbe obiettare: ma non era un intervento sulla volatilità implicita? Si, certo: ma la volatilità implicita è solo una delle variabili che occorre conoscere per determinare il prezzo di un'opzione. E la formula che in genere utilizziamo per fare questo calcolo, la nota formula di Black&Scholes&Merton (più avanti abbreviata con l'acronimo B&S), altro non è che un modello matematico, appunto, per la descrizione di un pezzo di realtà. La realtà delle opzioni.

Realtà e modello

Partiamo allora con la definizione:
Un modello matematico è una rappresentazione formale e semplificata di una "parte" di realtà. Ma quale realtà? Quella, appunto, oggetto del problema.
La realtà, però, è molto più complessa di qualunque modello si prenda in esame. Facciamo un esempio. Supponiamo di voler studiare il moto di un grave. E' questa la "nostra realtà". Se prendiamo un corpo di massa m e lo lasciamo cadere a terra da una certa altezza, la sua equazione oraria, nel vuoto, sarà:

VI3.png

VI4.jpg

Realtà e modello

questa equazione, ovvero questo modello, ci dice quale sarà la posizione del corpo istante per istante. Ad esempio, se la massa del corpo è di 1 kg, dopo un secondo avremo:

VI5.png

Il corpo, dopo un secondo, si troverà a circa 5 metri dal punto in cui è stato lasciato! Se volessimo calcolare la posizione del corpo dopo 2 secondi, occorrerà sostituire 2 al posto di t nel modello. E così via.


Una prima osservazione che si può fare è che se il corpo, nel punto considerato origine del sistema, ha una certa velocità v, il modello che stiamo usando non funziona. Non funziona perché non tiene conto di tale informazione. E allora? Cosa si fa? Semplice, si cambia il modello con uno che funzioni. Eccolo:

VI6.png

Ma possiamo andare oltre. Il modello appena indicato, ad esempio, non tiene conto dell'attrito. Infatti vale solo nel vuoto. Fa parte dell'esperienza di ognuno di noi l'osservazione che due oggetti come - ad esempio - una piuma ed una biglia di vetro, lasciati cadere nello stesso istante, giungono a terra in momenti diversi. E ciò è dovuto proprio alla presenza dell'attrito (nel modello che non tiene conto dell'attrito, come sicuramente qualcuno avrà avuto modo di osservare, l'informazione della massa non è presente nell'equazione; cosa che invece accade nel modello che considera l'azione dell'attrito).

Ciò che in conclusione vorrei che fosse chiaro è che un modello, per quanto preciso, non riuscirà a descrivere perfettamente la realtà che intende descrivere: la realtà è sempre più complessa di qualunque modello. E questo è vero anche per la formula B&S. Ma non dobbiamo abbatterci: esiste la via d'uscita. E, soprattutto per la B&S, ci torneremo.

Realtà e modello

Abbiamo avuto modo di delineare, con un semplice esempio, che la complessità della realtà ci costringe ad una necessaria azione di semplificazione. In questo processo di semplificazione, vengono trascurati tutti quegli aspetti considerati secondari e la cui omissione non dovrebbe pregiudicare l'attendibilità delle conclusioni.

I modelli, insomma, non sono e non possono essere (per nostra ignoranza) una fotografia della realtà. Possiamo invece affermare che ne sono piuttosto una rappresentazione semplificata (o, come afferma qualcuno, una caricatura). Non riproducono, come accade per una fotografia, tutti i dettagli dell'oggetto della rappresentazione.
Cercano, invece, di catturare gli aspetti qualificanti e salienti trascurando, di converso, quelli marginali.

Questa lettura semplificata della realtà viene quindi formalizzata, per mezzo del linguaggio della matematica, in un modello. In sostanza in un'equazione.

Grazie Mauro! Da come sei partito ne vedremo delle belle!