Random Walk (passeggiata aleatoria)

Una passeggiata aleatoria è semplicemente un percorso dove ogni passo ha una direzione casuale.

Queste marce a “caso”, servono come modelli per studiare le cosiddette variabili aleatorie; una di queste potrebbe essere il valore guadagno (Gn) ottenuto in un certo numero di prove ripetute come per esempio il lancio di una moneta.

Come vedremo la variabile Gn ha una interessante interpretazione in termini di giochi.

Consideriamo n prove ripetute con probabilità di successo uguale a p. Dando per scontato che la moneta sia perfetta p vale 0,5. La probabilità di insuccesso q vale 1-p ossia 0,5. La variabili aleatoria Gn è uguale alla differenza tra il numero di successi e quello degli insuccessi.

Ora, supponendo di ottenere +1 in caso di vincita e –1 in caso di perdita,ogni passo nel percorso sarà +1 o –1, e la posizione dopo n lanci rappresenta il vantaggio (o svantaggio) del giocatore.

Così, se per esempio abbiamo giocato 10 partite con i seguenti risultati
1, 1, -1, 1, -1, -1, -1, 1, 1, 1
il valore assunto da Gn, al variare di n da 1 a 10, è dato dallo schema:

1.jpg

Da esso si ricava, per esempio, che dopo la seconda, la quarta e la decima partita vincevamo 2, dopo la sesta eravamo a quota 0, mentre perdevamo 1 dopo la settima partita (vedi figura in basso)

Ciò che segue è un percorso tipico casuale, rappresentato ponendo sull'asse orizzontale delle ascisse il numero di partite giocate e sull’asse verticale delle ordinate la vincita totale all’n-esima partita. La spezzata che unisce i punti di coordinate (n,G) dà l’andamento del gioco.

Su questo grafico abbiamo calcolato la percentuale - su 1.000 partite giocate - in cui l’ipotetico giocatore è in testa rispetto al banco per illustrare una proprietà interessante di questa passeggiata aleatoria.

Ebbene: questa percentuale è del 99%...

Ora, se ripetiamo questo esperimento per un certo numero di volte, ci accorgiamo di una cosa interessante! Abitualmente o il giocatore o il banco rimane in vantaggio per la maggior parte del tempo. Viceversa è abbastanza raro vedere che il guadagno sia diviso in parti pressoché uguali.

Detto in parole più semplici lo scarto rappresenta la regola, l’equilibrio l’eccezione. E questo spiega in parte il meccanismo di formazione dei trend e il loro mantenimento...

Non essendo convito intuitivamente di questo fatto, ho voluto fare una prova! Orbene, ho realizzato 500 percorsi random walk di 1.000 lanci ciascuno e, per ognuno, ho calcolato quante volte (in termini relativi) risulta in vantaggio il giocatore rispetto al banco. In un secondo momento ho fatto una distribuzione di frequenze ed ecco quello che è uscito:

Ciò significa che i movimenti al rialzo (o al ribasso) dei prezzi tendono a persistere cioè vanno in trend e lo fanno perfino in un processo senza memoria.

Questo effetto – dovuto alle fluttuazioni statistiche – lo verifica empiricamente colui che gioca alla roulette (o a qualsiasi altro gioco d'azzardo). Nel senso che dopo un certo periodo se si trova in guadagno è più probabile che continuerà a guadagnare fino alla fine del gioco piuttosto che a perdere. Lo stesso discorso “mutatis mutandis” vale per le perdite. Perciò, quando afferma: oggi è la mia giornata fortunata (o sfortunata)… in fondo non ha tutti i torti!

Da quanto detto dovrebbe anche essere chiara una delle regole fondamentali di tutti i sistemi di money management, ossia che quando si guadagna si aumenta l’esposizione e quando si perde la si riduce. In ogni caso non bisogna mai farsi prendere dalla tentazione di “rifarsi" se si sta perdendo!

Provate a fare anche voi un grafico random wolk con il vostro foglio di lavoro, in cui ogni incremento o decremento sia casuale con un risultato di +1 o -1. Come si fa?

Selezionate la cella A1 del vostro foglio di Excel e inserite la seguente formula: =SE(CASUALE()<0,5;-1;1) .

Cliccate sul quadratino nero e tenendo premuto il tasto sinistro del mouse arrivate fino alla cella A1000: avete copiato in questo modo la formula precedente in 1000 celle sottostanti.