La volatilità

Il regime di capitalizzazione (1)

Fino a questo momento noi abbiamo definito la volatilità come variazione percentuale dei prezzi di un'attività finanziaria. In questo senso la volatilità è molto simile ai tassi di interesse che si percepiscono quando si compra un'obbligazione. L'unica differenza è che questi ultimi sono sempre positivi mentre le variazioni percentuali dei prezzi di un sottostante possono anche essere negative: il prezzo di un'azione può anche scendere. Ora la volatilità che è una deviazione standard, nulla ci dice circa la direzione futura dei prezzi.

Ma in che modo viene calcolata la variazione percentuale di un'attività finanziaria? Vi sono diverse possibili maniere. Vediamole. Supponiamo di aver deciso di investire la somma di 1000 euro al tasso del 6% annuale, per il periodo di un anno. La domanda è: al termine di tale periodo, qual è la somma che ci verrà restituita? La risposta dipende dal modo in cui questo interesse viene corrisposto.

Se l'interesse viene corrisposto al termine dell'anno allora questo ammonterà a 60 euro ed il tasso effettivo coinciderà con quello nominale: il 6%.

Se l'interesse viene corrisposto ogni 6 mesi, 3% ogni volta, al termine dell'anno allora avremo complessivamente percepito la somma di 60.9 euro. In questo caso il tasso effettivo sarà del 6.09%: maggiore di quello nominale del 6%.

Con excel si può studiare che cosa accade se aumenta la frequenza con cui viene corrisposto l'interesse. In definitiva, osservando la tabella così costruita, maggiore è la frequenza di calcolo del tasso e maggiore sarà la somma corrisposta al termine del periodo e, ovviamente, maggiore sarà il tasso effettivo percepito (negli ultimi due casi, frequenza settimanale e giornaliera, è stato ampliato il numero dei decimali per osservarne meglio le differenze). Potenza e magia dell'interesse composto!

TassoEffettivoPositivo.png

Il regime di capitalizzazione (2)

E in termini di tassi negativi, come sarebbero andate le cose? Vediamolo. Supponiamo di partire sempre dalla stessa somma, 1000 euro, e di chiederci quale sarebbe la perdita dopo un anno al tasso del 6%. Anche qui, come nel caso precedente, dipende dalla frequenza con cui il tasso viene applicato. Nel caso di interesse negativo, osserverete, che maggiore è la frequenza di calcolo e minore è il tasso effettivo: altra "magia" dell'interesse composto!

TassoEffettivoNegativo.png

Mauro, semplicemente eccezionale quello che stai facendo. Grazie davvero, sei riuscito a rendere interessante questa materia anche ad una capra come me.

Mauro, semplicemente eccezionale quello che stai facendo. Grazie davvero, sei riuscito a rendere interessante questa materia anche ad una capra come me.

Ti ringrazio, Nappo: un tuo complimento mi fa estremo piacere!


Anche tu, dall'altra parte, stai facendo un gran lavoro proponendo quella interessante variante della Garcia.
Davvero notevole.

Mauro si fa leggere che è un piacere ! (Nonostante gli argomenti trattati non siano rose e fiori ...)

Di Nappo apprezzo molto la sua estrema disponibililtà a mettersi in gioco.

Mauro si fa leggere che è un piacere ! (Nonostante gli argomenti trattati non siano rose e fiori ...)

Di Nappo apprezzo molto la sua estrema disponibililtà a mettersi in gioco.

Grazie anche a te, marzac.

La capitalizzazione continua (1)

Ora devo aprire un'altra necessaria parentesi matematica. Che succede se il calcolo dell'interesse è eseguito con frequenza ancor più spinta? Ma più spinta quanto? Abbiamo visto la capitalizzazione annuale, semestrale, trimestrale, mensile, settimanale e giornaliera. Andiamo oltre: e se capitalizzassimo ogni ora, ogni minuto, ogni secondo? Insomma, se capitalizzassimo in modo continuo? Questo strano regime di capitalizzazione, che nella letteratura del settore economico (ancor meglio, del settore finanziario) è indicato come capitalizzazione continua, ci riguarda molto da vicino, a noi opzionisti.

Ed allora anticipo subito una conclusione: una delle ipotesi del modello di B&S è che la volatilità di una determinata attività finanziaria sia soggetta ad un regime di capitalizzazione continua.

La capitalizzazione continua (2)

Indichiamo con:

: il capitale al periodo n ( è il capitale al tempo 0, ovvero il capitale iniziale)
: il tasso di interesse in decimale (significa che il 3% equivale a 0.03)
: il periodo in anni
: il numero di periodi infrannuali in cui viene calcolato l'interesse

Allora, partiamo dalla nota (credo) formula:



In pratica, se la somma iniziale è 1000 euro e vogliamo sapere quanto varrà dopo un anno al tasso del 6% il calcolo da fare sarà:



dopo due anni:



e così via per due, tre, ..., n anni.

Ora, se il regime di capitalizzazione non è più annuale, ma qualunque, come si modifica la formula precedente? Vediamola:



e infatti, proviamo a vederlo nel caso dell'esempio dei 1000 euro capitalizzati al 6% annuo con capitalizzazione semestrale (un esempio proposto in un precedente foglio excel). In questo caso, dopo un anno, avremo:

Vorrei porre alcune considerazioni rigardo alla Normale, capisco che la discussione non riguarda la statistisca per neofiti, ma se hai considerato l’argomento propedeutico una ragione ci deve pur essere.

Mi scusi con chi la statistica la conosce e quindi potrà rimanere inorridito dal mio post.

La variabile standardizzata che chiamiamo z è un modo di indicare la variabile stessa ma riferita ad un altro parametro ? Dire che rispetto al prezzo la variiabile 25 Euro corrispondete alla variabile z=1,18, deviazioni standard ?
Che poi corrispondente alla probabilià +/- (0,3810) , proabilità che si troverà a 1,18 dev standard dallo zero cioè dalla media ?

Nell’esempio che segue I ritorni delle ultme cinque chiusere del Fib
Naturalmente è didattico anche per il numero esiguo di osservazioni

Se voglio sapere con che probabilità domani possa essere raggiunto 14000
Pongo questo valore come ipotesi, in questo modo il ritorno che ne deriva sarà la variabile x da standardizzare e così via come si può vedere

15-06-12 13222
18-06-12 12994 -0,0172
19-06-12 13443 0,0346
20-06-12 13722 0,0208
21-06-12 13757 0,0026
22-06-12 13697 -0,0044
ipotesi 14000 0,0221


x 0,0221
mean 0,0097
st.dev 0,0193

z 0,64


probabilità che z tra ∞ e 0,64 0,7389
probabilità che z tra ∞ e 0 0,5000
probabilità che z tra 0 e 0,64 0,2389 0,477722567

Quindi ci sono 23,89% di probabilità che si verifichi o meglio ci sono 76,11 % probabilità che non si verifichi. Ma che non si verifichi domani o in senso assoluto ? E cioè che una variazione del 2,21% giornaliera non dovrebbe essere considerato un evento molto consueto.

Quindi ognuno dei ritorni sopra indicati starà nella fila di appartenenza sotto la campana, in questo caso il ritorno 0,0221 sta nella fila 0,64 dev standard, così continuando vengono distribuiti tutti i valori.
La density curve è la curva disegnata da questi riempimenti ?

Vorrei porre alcune considerazioni rigardo alla Normale, ...

La variabile standardizzata che chiamiamo z è un modo di indicare la variabile stessa ma riferita ad un altro parametro ?

Generalmente si usa la variabile standardizzata quando si vogliono operare confronti tra fenomeni che distribuiscono in modo normale ma che possiedono media e deviazione standard differenti (una delle due o, come è più frequente, entrambe).

Dire che rispetto al prezzo la variiabile 25 Euro corrispondete alla variabile z=1,18, deviazioni standard ?

Questa non l'ho capita.

Che poi corrispondente alla probabilià +/- (0,3810) , proabilità che si troverà a 1,18 dev standard dallo zero cioè dalla media ?

Si.

Nell’esempio che segue I ritorni delle ultme cinque chiusere del Fib
Naturalmente è didattico anche per il numero esiguo di osservazioni

Se voglio sapere con che probabilità domani possa essere raggiunto 14000
Pongo questo valore come ipotesi, in questo modo il ritorno che ne deriva sarà la variabile x da standardizzare e così via come si può vedere

15-06-12 13222
18-06-12 12994 -0,0172
19-06-12 13443 0,0346
20-06-12 13722 0,0208
21-06-12 13757 0,0026
22-06-12 13697 -0,0044
ipotesi 14000 0,0221


x 0,0221
mean 0,0097
st.dev 0,0193

z 0,64

Attenzione! Il calcolo della media e della deviazione standard non sono corretti.

probabilità che z tra ∞ e 0,64 0,7389
probabilità che z tra ∞ e 0 0,5000
probabilità che z tra 0 e 0,64 0,2389 0,477722567

Si, a parte il numero 0,477722567 che non ho capito a cosa si riferisce.

Quindi ci sono 23,89% di probabilità che si verifichi o meglio ci sono 76,11 % probabilità che non si verifichi. Ma che non si verifichi domani o in senso assoluto ? E cioè che una variazione del 2,21% giornaliera non dovrebbe essere considerato un evento molto consueto.

Ammesso che i prezzi seguano in modo "perfetto" una distribuzione normale, la risposta è si.
Naturalmente è riferito a domani e non in senso assoluto. Anche perchè quella media e quella deviazione standard, ammesso anche che siano corrette, si riferiscono solo a quelle 5 rilevazioni. Tra una settimana avremo differenti chiusure e, conseguentemente, differenti medie e dev. std.

Quindi ognuno dei ritorni sopra indicati starà nella fila di appartenenza sotto la campana, in questo caso il ritorno 0,0221 sta nella fila 0,64 dev standard, così continuando vengono distribuiti tutti i valori.

Anche qui, non sono sicuro di aver ben compreso.

La density curve è la curva disegnata da questi riempimenti ?

Per density curve si intende la funzione di probabilità di una variabile casuale (a prescindere che questa sia normale, bernoulliana, di Poisson, o altro ancora) nel caso che questa sia continua (e non discreta).