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Occupiamoci ora dei principali teoremi del calcolo delle probabilità.

La probabilità che si verifichino due o più eventi incompatibili (l’uno o l’altro) è uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi. In formula:

dove p è la probabilità ed A e B sono i due eventi.


Supponiamo di voler determinare la probabilità che, estraendo una carta a caso da un mazzo di 40 carte napoletane, sia un asso oppure una figura. I due eventi esce un asso ed esce una figura sono eventi incompatibili per cui la probabilità che si verifichi l’uno o l’altro è uguale alla somma delle probabilità di ciascuno dei due eventi:

Se i due eventi non sono incompatibili la probabilità totale è uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi meno la probabilità che i due eventi accadano contemporaneamente.

Nel lancio di un solo dado si trovi per esempio la probabilità che esca un numero inferiore a 4 oppure un numero dispari.

In questo caso consideriamo evento A “esce la faccia contrassegnata dal numero 1, 2 o 3” ed evento B “esce la faccia contrassegnata dal numero 1, 3 o 5”. Come si vede i due eventi non sono incompatibili; infatti, qualora dovesse uscire la faccia 1 o 3 si verificano entrambi eventi, per cui la probabilità in questione sarà:

come si poteva facilmente calcolare facendo il computo dei casi favorevoli e dei casi possibili (4 su 6).

La probabilità che due eventi indipendenti si verifichino contemporaneamente (cioè l’uno e l’altro) si ottiene moltiplicando le probabilità dei singoli eventi. In formula:

Ad esempio, nel doppio lancio di una moneta, la probabilità che nella ricaduta si ottenga due volte di seguito la faccia testa è:

Si consideri ora l’estrazione di due carte a caso da un mazzo di carte napoletane. La prima carta dopo l’estrazione viene rimessa nel mazzo che sarà rimescolato completamente prima di eseguire la seconda estrazione.
Qual è la probabilità che ambedue le carte siano denari?

L’evento A, “la prima carta è denari”, ha una probabilità pari a:

Ora, dato che la prima carta viene rimessa tra le altre, e il mazzo nuovamente mischiato, la seconda estrazione avviene nelle medesime condizioni della prima. L’evento B, “la seconda carta è denari”, è quindi indipendente dall’evento A e possiede conseguentemente la stessa probabilità di quest’ultimo (¼). Quindi la probabilità cercata, ossia che ambedue le carte siano denari è:

Talvolta la probabilità di verificarsi di un particolare evento dipende dal verificarsi di qualche altro evento.
Nel gioco delle carte, ad esempio, quando molte di esse sono già state giocate, la probabilità che compaia una determinata carta ancora rimasta nel mazzo dipende dalle carte già uscite. Tale probabilità è detta condizionata e viene indicata con P(B/A) che si legge “la probabilità che si verifichi l’evento B supposto che l’evento A si sia già verificato”.
In questo caso la probabilità che due ipotetici eventi A e B si verifichino simultaneamente è data dal prodotto della probabilità del primo, per la probabilità del secondo condizionata dal verificarsi del primo evento o viceversa. In formula scriveremo:

Riprendiamo l’esempio precedente dell’estrazione di due carte a caso da un mazzo di carte napoletane.

In questo caso però la prima carta dopo essere stata estratta non viene rimessa nel mazzo.
Ci domandiamo ancora qual è la probabilità che ambedue le carte siano denari.

Dato che vi sono 10 carte di questo seme, la probabilità dell’evento A, “la prima carta è denari”, è esattamente ¼.
Ora, se l’evento A si è verificato, ossia la prima carta uscita è stata proprio una denari, questa informazione modifica la valutazione della probabilità dell’evento B; infatti nel mazzo, quando andiamo a pescare la seconda carta, rimangono a nostra disposizione solo 10-1= 9 carte di denari, in mazzo che adesso ne conta 40- 1 = 39 carte. Ne consegue che P(B/A) risulta uguale a 9/39.

La probabilità che ambedue le carte estratte siano denari è dunque:

Si noti che in questo caso la probabilità che entrambe le carte siano denari risulta leggermente più piccola rispetto alla probabilità calcolata nell’esempio precedente con rimessa della carta nel mazzo.

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